Encuentre $\sup_{x\in[0,1]} \frac{x}{x^2+n^2+1}$

Question

Tenemos $f_n:[0,1]\to \mathbb{R},\:f_n(x)=\frac{x}{x^2+n^2+1}$ y tenemos que demostrar que es la convergencia uniforme utilizando la fórmula:

$\lim _{n\to \infty } \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-f(x)| =0$

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En el primer paso demuestro que la secuencia $f_n$ converge puntualmente a $f(x)=0$ . Después de eso: $|f_n(x)-f(x)|=\frac{x}{x^2+n^2+1}$ y $(\frac{x}{x^2+n^2+1})'=\frac{-x^2+n^2+1}{(x^2+n^2+1)^2}$ pero no entiendo qué nos ayudará a encontrar el supremum, en este caso.

Necesito ayuda para encontrar $\sup_{x\in[0,1]} \frac{x}{x^2+n^2+1}$ .

P.D: El autor dice que $\sup_{x\in[0,1]} \frac{x}{x^2+n^2+1}$ es igual a $\frac1{2n}$ pero creo que se equivoca, no estoy seguro.

Answer 1

Estás en el camino correcto.

Para $x \in [0,1]$ , usted tiene $$ f'_n(x)=\frac{-x^2+n^2+1}{(x^2+n^2+1)^2}>0 $$ entonces $$ \sup_{x\in[0,1]} \left(\frac{x}{x^2+n^2+1}\right)= \left.\left(\frac{x}{x^2+n^2+1}\right)\right|_{x=1}=\frac{1}{n^2+2} \to 0, \quad \text{as}\,\, n \to +\infty, $$ y la convergencia es uniforme en $[0,1]$ .

Answer 2

En realidad no es necesario encontrar el supremum.

Tenga en cuenta que, como $0 \leq x \le1$ usted y $x^2+n^2+1 \ge n^2+1$ , usted tiene $$0 \le \frac{x}{x^2+n^2+1} \le \frac{1}{n^2+1}$$ Por lo tanto, $\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| \le \frac{1}{n^2+1} \to 0$ como $n \to + \infty$

Answer 3

$f_n(x)$ es una función positiva sobre $(0,1)$ y por la desigualdad AM-GM

$$ f_n(x)=\frac{x}{x^2+(n^2+1)}=\frac{1}{x+\frac{n^2+1}{x}}\leq\frac{1}{2\sqrt{n^2+1}}\tag{1} $$ con la igualdad alcanzada en $x=\sqrt{n^2+1}$ . De ello se desprende que $f_n$ es una función creciente sobre $[0,1]$ y su supremacía viene dada simplemente por $f_n(1)=\frac{1}{n^2+2}$ .

Answer 4

Como las únicas raíces de la derivada son $\pm\sqrt{n^2+1} \notin [0,1]$ el supremum se alcanza en el límite. En el extremo izquierdo se obtiene $0$ y el derecho da $\frac1{n^2+2} \to 0$ .

$$\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-f(x)| = \frac1{n^2+2}$$