Estimador Monte Carlo

Question

Tengo una pregunta corta/simple sobre los estimadores monte carlo. El valor esperado de una función de una variable aleatoria se puede definir como:

$$E[f(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) p(x) dx$$

donde $p(x)$ es una función de densidad de probabilidad.

El estimador de Monte Carlo se define como

$$\langle I\rangle = {1 \over N } \sum_{i=1}^N {f(x_i) \over p(x_i) }$$

Tenía entendido que el estimador MC podía utilizarse para estimar el valor esperado de la función de una variable aleatoria. En otras palabras, podemos utilizarlo para estimar $E[f(x)]$ . Por lo tanto, la evaluación de $f(x)$ para variables aleatorias $x$ y tomar la media parece una forma intuitiva de explicar por qué el estimador MC funcionaría, pero no entiendo por qué $f(x)$ se divide por la función de densidad de probabilidad mientras que en la primera ecuación $f(x)$ ¿¡Se multiplica por ella!?

Entiendo la primera ecuación. Es bastante similar a la forma de calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta ( $E(x)=\sum x_i p_i$ ) por lo que entiendo la primera ecuación pero no entiendo realmente cómo pasar de la primera ecuación al estimador MC.

¡Sería genial si alguien pudiera explicarlo!

Gracias.

Answer 1

Parece que estás tratando de hacer algo como este (véase la diapositiva 15). En ese caso, lo que el estimador monte carlo $\langle I \rangle$ hace no tiene sentido si se piensa en ello como el cálculo de la $E[f(x)]$ . Lo que hace ese estimador es calcular $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ utilizando un método de Monte Carlo que muestrea el $x_i$ no uniformemente pero según la función de densidad $p(x_i)$ , donde $p(x_i)$ se elige como muestra de los lugares en los que $f(x_i)$ es grande con más frecuencia que cuando es pequeño, con lo que se aprovechan mejor los limitados recursos informáticos, lo que se denomina muestreo de importancia (como ha señalado copper.hat). Para calcular el valor esperado de $f(x_i)$ primero hay que especificar la distribución del $x_i$ y luego generar valores de Monte Carlo de $f(x_i)$ con x's extraídas de esa distribución.

En resumen, el estimador de Monte Carlo para el media de una función aleatoria y para el integral de una función determinista son cosas completamente diferentes . No necesariamente se pueden mezclar. Creo que tu confusión es pensar $\langle I \rangle$ es para $E[f(x_i)]$ que no lo es. Su intuición sobre cómo calcular $E[f(x_i)]$ es correcto.