Existencia y unicidad de flujo de Stokes

Question

¿Cuáles son la solución de existencia y unicidad de las condiciones de Stokes de flujo?

$$\begin{gathered} \nabla p = \mu \Delta \vec{u} + \vec{f} \\ \nabla \cdot \vec{u} = 0 \end{reunieron}$$

Tal vez usted podría también proporcionar algunos de los artículos o libros sobre el tema? La mayoría de los libros de física parecen no preocuparse por estos detalles.

Answer 1

Hay un famoso ejemplo en el que no hay ninguna solución para la Stokes flujo de caja: el flujo de Stokes alrededor de un cilindro, que es approriately nombre de Stokes' paradoja. En este caso es imposible para que coincida con las condiciones de frontera tanto en el infinito (flujo uniforme) y en la superficie del cilindro (sin deslizamiento) con el flujo de Stokes dinámica. Ver, por ejemplo, el apartado 6.4 de la Dinámica de Fluidos Notas de la Conferencia de Jacques Lewalle. La descomposición de una solución significa que siempre habrá un efecto inercial, sin importar cuán pequeño sea el número de Reynolds es.

Una aproximación a una solución a este problema fue propuesto por primera vez por Oseen que introdujo un linealizado inercial término para dar cuenta de la inercia de las contribuciones en el campo lejano.

Más tarde, Proudman y Pearson calculado de una forma más precisa de la solución a través de expansiones asintóticas, y la coincidencia del campo lejano de la solución y la cerca de cilindros solución.

Así que para responder a tu pregunta: la existencia de Stokes para flujo no está garantizado, aunque el criterio de $Re << 1$ está satisfecho. Una muy buena explicación de las razones precisas de la no-existencia es dada en el capítulo 7 de la Dinámica de Fluidos I notas de la conferencia del Prof. Childress. En el mismo documento también se muestran (en el párrafo 7.2) que Stokes de flujo muestra la singularidad de no-trivial de los casos (es decir,$\textbf{u}\neq0$).

Para más detalles sobre las condiciones de solvencia: hay un buen montón de matemática de la dinámica de fluidos de la literatura sobre la solvencia de Stokes de flujo. Nazarov y Pileckas referencia a un número de ellos en su papel con la narración título "Sobre la Solvencia de Stokes y Navier-Stokes Problemas en los Dominios de la Capa-Como en el Infinito"

Answer 2

Michiel la respuesta es más de los aspectos de la física. Aquí está el pde estilo de respuesta.

Respuesta corta: El flujo de Stokes variacional del problema está bien planteado (la unicidad y existencia) en ciertos espacios de Hilbert par que se basa en inf-sup condición.

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Las ecuaciones funcionales:$\newcommand{\b}{\boldsymbol}$ Supongamos $\mu=1$, el Stokesian flujo puede escribirse de la siguiente manera (creo que se llama la Presión de la Velocidad de formulación): $$\left\{ \begin{aligned}&-\Delta \b{u} + \nabla p =\b{f}, \\ &\nabla\cdot \b{u} =0.\end{aligned}\right.\la etiqueta{1} $$ En el operador de esta forma se puede escribir como la siguiente resumen problema: $$ \begin{pmatrix}A & B' \\ B& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\b{u}\\p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\b{f}\\0 \end{pmatrix}, $$ donde $A = -\Delta$ es el vector de Laplace, y $B = -\nabla\cdot$ con $B' = \nabla$, $\b{u}\in X$, y $p\in Y$, los operadores: $$ R: X\X',\quad B:X\to Y', \quad \text{y}\quad B': Y\X'. $$

Stokes problema está bien planteado cuando el follpwing operador es un isomorfismo: $$ \mathscr{S}:(\b{v},q)\X\times Y \mapsto (a\b{v}+B, q,B\b{v})\X'\times Y". $$

Normalmente, el isomorfismo es demostrado el uso de Lax-Milgram a través de coercitividad para precisar un punto fijo, o utilizando la alternativa de Fredholm.

La condición suficiente para que ésta es una versión débil de coercitividad (puedes verlo como invertibility de un operador):

$B: \mathrm{ker}(B)^{\perp}\subset X \to Y'$ es un isomorfismo y $\|\b{v}\|_X \leq \beta \|B\b{v}\|_{Y'}$.

$B': Y \to (\mathrm{ker}(B)^{\perp})'$ es un isomorfismo y $\|q\|_Y \leq \beta \|B'q\|_{X'}$.

Entonces por cerrado gama teorema, Babuska demostrado la equivalencia de estas condiciones, con el inf-sup condición(en ese enlace pdf 1.1). Cada vez que la condición se cumple para ciertos espacios de Hilbert par $X\times Y$, (1)'s variacional del problema tiene una solución única.

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Débil formulación:

La débil formulación de la versión abstracta de (1) es entonces:

$$\left\{ \begin{aligned}\langle A \b{u},\b{v}\rangle + \langle p,B\b{v}\rangle =\langle\b{f},\b{v}\rangle,\quad \forall \b{v} \in X&, \\ \langle q,B\b{u}\rangle =0,\;\;\;\quad\quad \forall q \in Y.&\end{aligned}\right.\la etiqueta{2} $$ Posibles pares de espacios de Hilbert $X\times Y$ mencionado anteriormente son: $$\begin{gathered} H^1_0(\Omega)\times \{q\in L^2(\Omega):\int_{\Omega}q=0\}, \\ H(\mathrm{div})= \{\b{v}\in L^2(\Omega):\nabla\cdot \b{v}\in L^2(\Omega)\}\times L^2(\Omega). \end{reunieron}$$ Usando integración por partes para (2) conduce a: $$\left\{ \begin{aligned}\int_{\Omega} \mathrm{tr}\big((\nabla \b{u})^T \nabla \b{v}\big) +\int_{\Omega}p(\nabla \cdot \b{v}) =\int_{\Omega}\b{f}\cdot\b{v},\quad \forall \b{v} \in X&, \\ \int_{\Omega}q(\nabla \cdot \b{u}) =0,\quad\quad\quad \forall q \in Y.&\end{aligned}\right.\la etiqueta{3} $$

Problema (3) puede verse como una restricción del problema de minimización de la siguiente conjugado funcionales también (visualización de la presión de $p$ como un multiplicador de Lagrange): denotar $E(\b{v}) = (\nabla \b{v}^T +\nabla \b{v})/2$ (simétrica parte de la Jacobiana), la estacionario tensor de deformaciones, a continuación, $\mathrm{tr}\big((\nabla \b{v})^T \nabla \b{v}\big)= |E(\b{v})|^2 $ (una notación utilizada normalmente en la elasticidad de la Pde). Vamos $$ \mathcal{L}(\b{v},q) = \int_{\Omega}|E(\b{v})|^2 - \int_{\Omega} \b{f}\cdot \b{v} - \int_{\Omega} p\nabla\cdot \b{v}, $$ y $$\mathcal{J}(\b{v}) = \sup_{q\in Y}\mathcal{L}(\b{v},q) ,$$ then our goal is to minimize $\mathcal{J}$ in $X$ (como buscando un punto de silla).