Para una función $g$ denotamos $g_{1} = g$ , $g_{k+1} = g(g_{k})$ .
Supongamos que $\varphi$ tiene puntos fijos en $a_{1}<a_{2}<...<a_{m}$ (estos son todos los puntos fijos) y se establece $a_{0} = - \infty$ .
Llamaremos a una secuencia de números reales $(x_{j})_{j \in \mathbb{N}}$ a $\varphi$ camino si $x_{j+1} = \varphi(x_{j})$ o $x_{j+1} \in \varphi^{-1}(x_{j})$ .
$\textbf{Observation:} $ Tenga en cuenta que en un $\varphi$ camino $f(x_{1}) = f(x_{2}) = ...$
$\textbf{Claim:}$ Por cada $x \in \mathbb{R}$ existe un $\varphi$ camino $(x_{j})_{j \in \mathbb{N}}$ con $x_{1} = x$ tal que $\lim_{j \rightarrow \infty} x_{j} = a_{k}$ para algunos $k = 1,...,m$ .
Caso $m)$ $x \geq a_{m}$ :
Si $x = a_{m}$ el resultado es trivial. Supongamos ahora que $x \neq a_{m}$ .
En este caso, tenga en cuenta que si $y > a_{m}$ $\exists y' \in (a_{m},y)$ para que $\varphi(y') = y $ denotaremos $y'$ como $\varphi_{\langle m \rangle}^{-1}(y)$ (esto es básicamente una función de selección). Tenga en cuenta que la secuencia $(x_{j})_{j \in \mathbb{N}}$ con $x_{1} = x$ , $x_{j+1} = \varphi_{\langle m \rangle}^{-1}(x_{j})$ es una secuencia monotónicamente decreciente y a $\varphi$ camino que está limitado por debajo de $a_{m}$ . Como no hay puntos fijos de $\varphi$ después de $a_{m}$ tenemos $\lim_{j \rightarrow \infty}x_{j} = a_{m}$ como $\lim_{j \rightarrow \infty}x_{j}$ existe por el teorema de convergencia monótona.
Supongamos que probamos el caso $j+1)$ trabajaremos hacia abajo para probar el caso $j)$ donde
Caso $j)$ es
Caso $j)$ $a_{j}\leq x<a_{j+1}$ :
Si $x = a_{j}$ el resultado es trivial. Supongamos ahora que $x\neq a_{j}$
En este caso hay dos mini casos:
Minicase i) $\varphi(y) > y$ para $y \in (a_{j}, a_{j+1})$ :
En este Minicase si para algunos hay algún $k \in \mathbb{N}$ para que $\varphi_{k}(x) \geq a_{j+1}$ entonces, observe que por el Caso $j+1)$ podemos encontrar dicha secuencia fácilmente. En caso contrario, consideramos la secuencia $(x_{j})_{j\in \mathbb{N}}$ con $x_{1} = x$ , $x_{j+1} = \varphi(x_{j})$ que converge a $a_{j+1}$ .
Minicase (ii) $\varphi(y) < y$ para $y \in (a_{j}, a_{j+1})$ :
En este Minicase $\exists y' \in (y, a_{j+1})$ para que $\varphi(y') = y$ por el teorema del valor intermedio. Este $y'$ se denotará como $\varphi_{\langle j\rangle}^{-1}(y)$ (de nuevo una función de selección). Tenga en cuenta que la secuencia $(x_{d})_{d \in \mathbb{N}}$ con $x_{1} = x$ , $x_{d+1} = \varphi_{\langle j \rangle}^{-1}(x_{d})$ es una secuencia monotónicamente creciente y a $\varphi$ camino que está delimitado por encima de $a_{j+1}$ . Como no hay puntos fijos de $\varphi$ en el intervalo $(a_{j},a_{j+1})$ tenemos $\lim_{j \rightarrow \infty}x_{j} = a_{j+1}$ como $\lim_{j \rightarrow \infty}x_{j}$ existe por el teorema de convergencia monótona.
Esto demuestra la afirmación.
Ahora elige un $x \in \mathbb{R}$ . Existe un $\varphi$ camino $(x_{j})_{j\in \mathbb{N}}$ con $x_{1} = x$ tal que $\lim_{j\rightarrow \infty}x_{j} \in \{a_{1},...,a_{m}\}$ . Por lo tanto, por la continuidad de $f$ tenemos $f(x) \in \{f(a_{1}),...,f(a_{m})\}$ lo que significa que $f$ sólo toma un número finito de valores. Una función continua que toma un número finito de valores es la función constante.
