La suma de dos conjuntos y la unión disjunta.

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Para(a) pero no sé cómo demostrar prácticamente (usando los dados) que $in_{S}$ debe ser inyectado, ¿alguien podría ayudarme a hacerlo?

Para (b), (c) no sé cómo probarlos, ¿podría alguien ayudarme a hacerlo, por favor?

Además, no entiendo cuál es la importancia de $in_{S}$ y $in_{T}$ siendo inyectiva en la definición de la unión disjunta, ¿alguien podría explicarme esto por favor?

Answer 1

Este ejercicio se trata de encontrar la dificultad $U, f, g$ y utilizando la propiedad "fundamental" (supongo que una propiedad fundamental es casi una propiedad universal?), por ejemplo :

• a) $in_{S}$ es inyectiva
  Como único mapa $\emptyset \mapsto X$ es inyectiva, WLOG $S\neq \emptyset$ .
  Utilizamos la siguiente afirmación (fácil): si $v \circ f$ es inyectiva, entonces $f$ es inyectiva.
  Toma $U = S$ , $f = \operatorname{Id}_S$ y $g : T \mapsto S$ cualquier mapa (existe tal mapa ya que $S\neq \emptyset$ ). Tenemos $(f, g) \circ in_S = \operatorname{Id}_S$ que es inyectiva. Por lo tanto, $in_S$ es inyectiva.
• b) $\operatorname{Im}(in_S) \cap \operatorname{Im}(in_T) = \emptyset$
  Supongamos por contradicción que existe $x \in \operatorname{Im}(in_S) \cap \operatorname{Im}(in_T)$ .
  Considere $U := \{0, 1\}$ , $f$ la constante $0$ mapa $S \mapsto U$ y $g$ la constante $1$ mapa $S \mapsto U$ .
  Desde $(f, g) \circ in_S = f$ debemos tener $(f, g)(x) = 0$ .
  Pero como $(f, g) \circ in_T = g$ debemos tener $(f, g)(x) = 1$ . ¡Contradicción!
• c) $\operatorname{Im}(in_S) \cup \operatorname{Im}(in_T) = \operatorname{Im}(in_S) \sqcup \operatorname{Im}(in_T)$
  Esta depende de ti, sé creativo (¡y mira el excelente comentario de @Greg Martin!) :)