Encuentre $a\in\Bbb Z$ tal que $a^3\equiv 3 \pmod{11}$ sin Fermat o Euler.

Question

Encuentre todos $a$ enteros tales que $a^3\equiv 3 \pmod{11}$

Tengo este problema y no puedo usar los teoremas de Fermat o Euler porque no los hemos visto en clase. También tengo una solución que no entiendo. Agradecería que alguien me explicara la solución de la imagen y/o me diera un enfoque diferente.

PD: En la imagen, "o sea" es "eso significa" en español.

Answer 1

La solución es simplemente trabajar $a^3\pmod{11}$ para cada número entero $n=0,1,\ldots,10$ y encontrar los que funcionan. En cada caso lo han resuelto calculando primero $a^2$ , reduciendo entonces el mod $11$ y multiplicando el resultado por $a$ y reduciendo de nuevo.

Una vez que sepas que $a=9$ es la única solución en $0,\ldots,10$ entonces la solución general es $a\equiv 9\pmod{11}$ . Esto se debe a que si $a\equiv b$ entonces $a^3\equiv b^3$ Así que $a$ funciona si y sólo si $b$ lo hace, y siempre podemos elegir $b$ para estar en $0,\ldots,10$ .

Answer 2

Es más corto para demostrar que $$(-2)^3\equiv 3 \mod 11$$ y escribir la solución como $$a=-2+11k;\;\forall k\in\mathbb{Z}$$