¿Es el siguiente argumento un argumento lógico válido?

Question

Considere el siguiente argumento.

$$\begin{array}{rl} & P & \text{All roads lead to Rome.} \\ & Q & \underline{\text{E4 is a road .}} \\ & \therefore & \text{E4 leads to Rome.} \end{array}$$

Así que nos preguntamos si $P \wedge Q \Rightarrow C.$

Estoy argumentando que el argumento no es válido debido a que no es una tautología por el hecho de que P es falso. Todos los caminos no conducen a Roma y por lo tanto $P \wedge Q$ es falso y también C se convierte en falso. Por lo tanto, la afirmación no es siempre verdadera y, por lo tanto, no puede ser una tautología.

Estoy bifurcado en cuanto a lo que significa exactamente que un argumento sea válido, así que no estoy nada seguro de mi respuesta.

Answer 1

El Teorema de solidez en Lógica establece lo siguiente.

La derivabilidad de un argumento implica su validez.

Por lo tanto, si se demuestra que tal argumento es derivable También está demostrando que es válido . Así que vamos a tratar de demostrar que el argumento que usted dio es derivable.

Nuestras premisas son $P = \text{“All roads lead to Rome”}$ y $Q = \text{“E4 is a road”}.$

Utilizando Instanciación universal sabemos que $\text{“E4 leads to Rome”}.$ (Porque E $4$ es un camino y todos los caminos llevan a Roma $-$ esto es sencillo).

Lo que estamos haciendo aquí es obtener la conclusión del argumento a partir de las premisas, utilizando reglas de inferencia. Esto es una derivación del argumento.

Dado que nuestro argumento tiene una derivación, entonces es derivable y por lo tanto es válido.

También hay que tener en cuenta que aunque $P$ es falso, entonces las premisas son falsas. Así que no importa si la conclusión es verdadera o falsa ( $P \to Q$ es verdadera si $P$ es falso, independientemente del valor de verdad de $Q$ .)