La existencia y unicidad de los cierres algebraicos se demuestra generalmente utilizando el lema de Zorn. Una rápida búsqueda en Google lleva a un Documento de 1992 de Banaschewski que no tengo acceso, afirmando que la prueba sólo requiere el lema del ultrafiltro. Preguntas:
Como mencioné en un comentario a la respuesta de Eivind Dahl, es parece que también hay un argumento fácil directamente desde el Teorema de la compacidad de la lógica de primer orden. Ya que has dicho que buscas construcciones alternativas, permíteme ampliar la idea aquí.
El teorema de la compacidad afirma que si todo subconjunto finito de una teoría de primer orden tiene un modelo, entonces toda la teoría tiene un modelo. Andrés mencionó que esto es equivalente al el lema del ultrafiltro.
Existencia. Dejemos que F sea un campo. Sea T sea la teoría que consiste en los axiomas de campo, el diagrama atómico de F (que afirma que todas las ecuaciones y ecuaciones negadas son verdaderas en F utilizando constantes para los elementos de F ), más el afirmaciones de que todo polinomio sobre F tiene una raíz. Esta última afirmación se hace por separado como una afirmación sobre cada polinomio particular sobre F utilizando las constantes en el lenguaje añadido para los elementos de F . Esta teoría es fácilmente que es finitamente satisfecha, ya que cualquier subteoría finita menciona sólo un número finito de polinomios de F , y podemos satisfacerla en una extensión finita de F . Por lo tanto, por el teorema de la compacidad, toda la teoría tiene un modelo K . Si tomamos la colección de elementos de K que son algebraicas sobre F , ésta será algebraicamente cerrada.
Unicidad. Dejemos que F sea un campo y que E y K sean cierres algebraicos de la misma. Sea T ser la teoría que consiste en la unión de los diagramas atómicos de E y K Además de los axiomas de campo. (Nótese que no hemos añadido ningún axiomas que digan que los elementos de E y K son distintas, y al final estas constantes se fundirán en efecto, proporcionando el isomorfismo). Si T0 es una subteoría finita, entonces sólo hay un número finito de elementos de E y K aparecer. Esos elementos de E y K aparecen en algunos F[→a]⊂E y F[→b]⊂K . Podemos incrustar estas dos extensiones de F en una única extensión finita F[→u] , lo que hará que satisface todas las afirmaciones de T0 . (Nota, esta incrustación decide efectivamente una pequeña parte del isomorfismo, al mapeando algunos de los →b 's a algunos de los →a 's.) Así, por compacidad, toda la teoría es satisfacible. Si G es un modelo de T Entonces, como G interpreta el atómico diagramas atómicos de E y K obtenemos isomorfismos de E y K en subcampos de G . Estos mapas coinciden en F y tener un rango común, que es el conjunto de elementos de G que son algebraicas sobre F . Así, la composición es un isomorfismo de E y K .
Qiaochu, utilizando el lien En mi respuesta a esta pregunta En la página web de la Comisión Europea, se encuentra que esta cuestión sigue abierta (o lo estaba, a partir de mediados de la década de 2000, y no he oído hablar de ningún resultado reciente en esta dirección).
(Según la notación del sitio, la existencia de cierres algebraicos es la forma 69, el teorema del ultrafiltro es la forma 14, la unicidad del cierre algebraico (en caso de que existan) es la forma 233; estos números se pueden encontrar introduciendo las frases adecuadas en el último formulario de entrada de la página enlazada anteriormente).
Se sabe que la unicidad no implica ni la existencia ni el teorema del ultrafiltro.
Queda abierto si la existencia implica la unicidad o el teorema del ultrafiltro, y también si (existencia y unicidad) implica el teorema del ultrafiltro.
(Introduzca 14, 69, 233 en la Tabla 1 del enlace anterior para estas implicaciones/no implicaciones).
El libro de Jech sobre el axioma de elección debería proporcionar las pruebas de las implicaciones conocidas y las referencias, y el libro de Howard-Rubin (además de las actualizaciones posteriores a la fecha de publicación del libro de Jech) proporciona referencias para las no implicaciones conocidas.
Aquí hay algunos detalles sobre el documento de Banaschewski:
1. En primer lugar, veamos que el teorema del ultrafiltro se puede utilizar para demostrar singularidad de los cierres algebraicos, en caso de que existan.
Dejemos que K sea un campo, y que E y F sean cierres algebraicos. Necesitamos demostrar que existe un isomorfismo de E en F fijación de K (en puntos).
Siguiendo a Banaschewski, denotemos por Eu (resp., Fu ) el campo de división de u∈K[x] dentro de E (resp., F ); no exigimos que u ser irreducible. Tenemos entonces que si u|v entonces Eu⊆Ev y Fu⊆Fv . Además, como E es un cierre algebraico de K tenemos E=⋃uEu y de forma similar para F .
Denota por Hu el conjunto de todos los isomorfismos de Eu en Fu que arreglar K es normal que Hu es finito y no vacío (no es necesario elegir aquí). Si u|v , dejemos que φuv:Hv→Hu denota el mapa de restricción; estos mapas son onto.
Ahora, ponte H=∏u∈K[x]Hu y para v|w , dejemos que Hvw={(hu)∈H∣hv=hw↾ Entonces el teorema del Ultrafiltro asegura que H y los conjuntos H_{vw} no están vacías. Esto se debe a que, de hecho, Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff se desprende del teorema del ultrafiltro, véanse, por ejemplo, los ejercicios del capítulo 2 de "El axioma de elección" de Jech. Además, los conjuntos H_{vw} tienen la propiedad de intersección finita. Son cerradas en la topología del producto de H donde cada H_u es discreto.
Se deduce entonces que la intersección de la H_{vw} no está vacía. Pero cada (h_u) en esta intersección determina una incrustación única h:\bigcup_uE_u\to\bigcup_u F_u es decir, h:E\to F que está sobre y fija K .
2. Existencia se desprende de la modificación de la prueba clásica de Artin.
Para cada monic u\in K[x] de grado n\ge 2 Considera que n "indeterminados" z_{u,1},\dots,z_{u,n} (distintos entre sí, y para diferentes valores de u ), dejemos que Z sea el conjunto de todas estas indeterminaciones, y consideremos el anillo polinómico K[Z] .
Dejemos que J sea el ideal generado por todos los polinomios de la forma a_{n-k}-(-1)^k\sum_{i_1\lt\dots\lt i_k}z_{u,i_1}\dots z_{u,i_k} para todos u=a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1}+x^n y todos k con 1\le k\le n .
La cuestión es que cualquier polinomio tiene un campo de división sobre K por lo que para cualquier polinomio finito existe una extensión (finita) de K donde todos admiten ceros. De esto se deduce, por argumentos clásicos (y sin elección), que J es un ideal propio.
Podemos entonces invocar el teorema del ultrafiltro, y dejar que P sea cualquier ideal primo que extienda J . Entonces K[Z]/P es un dominio integral. Su campo de cocientes \hat K es una extensión de K y podemos comprobar que, de hecho, es un cierre algebraico. Para ello hay que tener en cuenta que, obviamente, \hat K/K es algebraico, y que, por definición de J todo polinomio no constante en K[x] dividido en factores lineales en \hat K . Pero esto es suficiente para asegurar que \hat K está cerrada algebraicamente por argumentos clásicos (véase, por ejemplo, el teorema 8.1 en "A course in Galois theory" de Garling).
3. El documento concluye con una observación que vale la pena hacer: Del teorema del ultrafiltro se deduce, y es estrictamente más débil que él, que las uniones contables de conjuntos finitos son contables. Esto basta para demostrar la unicidad de los cierres algebraicos de campos contables, en particular, para demostrar la unicidad de \bar{\mathbb Q} .
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