L2 es separable para medidas regulares de Borel en $\mathbb R^d$

Question

Dejemos que $d\geq1$ y que $\mu$ sea una medida regular de Borel en $\mathbb{R}^d$ . Demostrar que $L^2(\mu)$ es separable.

Parece que he reducido el problema a demostrar que las funciones indicadoras de los cubos con coordenadas racionales pueden acercarse arbitrariamente a las funciones indicadoras de los conjuntos medibles acotados, pero no puedo seguir adelante.

Answer 1

Dejemos que $D$ sea la colección de uniones finitas de cubos con coordenadas racionales. Esta colección es contable, y demostraremos que es densa.

Debido a la regularidad de $\mu$ basta con aproximar la función indicadora de un conjunto abierto. Un conjunto abierto es una unión contable de cubos abiertos con coordenadas racionales. Sea $O$ sea un conjunto abierto de medida finita y sea $\left(R_n\right)_{n\in\mathbb N}$ sea una secuencia de cubos abiertos con coordenadas racionales tal que $O=\bigcup_{n\in\mathbb N}R_n$ . Sea $O_N:=\bigcup_{n=1}^NR_n$ . Entonces $O_N$ pertenece a $D$ y el indicador de $O_N$ converge casi siempre a la de $O$ . Concluir por convergencia dominada.