Acabo de descubrir que algo con lo que he estado trabajando tiene la estructura de una operada. Así que me pregunto qué preguntas básicas naturales se hacen sobre las operadas. Por ejemplo, si supiera que tengo la estructura de un grupo, me preguntaría si es abeliano o tiene torsión, etc. Entonces, ¿cuáles son estas preguntas para las operadas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Luther Baker
Puntos
2656
Aquí están algunas de mis preguntas favoritas sobre las operadas en este momento:
-
¿Es su operada realmente una operada cíclica (en el sentido de Getzler-Kapranov)?
-
Si es así, ¿cuál es la operada modular que genera?
-
¿Es una operada cuadrática? ¿Es Koszul?
-
¿Es cofibrante? Si no es así, ¿qué aspecto tiene un buen sustituto cofibrante? Por ejemplo, la operada asociativa no es cofibrante, pero la operada A-infinita hecha a partir de los asociaedros es un interesante reemplazo cofibrante.
-
¿Tiene morfismos interesantes hacia o desde otras operadas? Si es así, la gente suele estar interesada en la teoría de la deformación de dicho morfismo.
Hay muchas cosas que podrías preguntar.
-
Las operadas actúan sobre las cosas, ese es su punto. ¿Sobre qué cosas actúa tu operada? Es de suponer que así es como has encontrado tu operada. Además, una vez que sabes que actúa sobre algo, puedes preguntarte si esa acción es máxima, si tu operada encaja o no en una operada mayor que también actúa sobre la cosa en cuestión, etc. Del mismo modo, puedes preguntarte qué te dice esa operada sobre la cosa sobre la que actúa.
-
Las operadas pueden tener sub-operadas, ¿tienes alguna interesante? Eso nos llevaría a otras preguntas relacionadas, como si tu operada es una extensión de otras operadas. Echa un vistazo al libro de operadas de Markl y Stasheff para hacerte una idea de algunas de las operadas que hay en la literatura y para qué sirven.
-
Hay cosas como las totalizaciones y las construcciones de barras para las operadas. ¿Cómo podría ser eso para tu operada?
-
Las operadas inducen otras operadas, por ejemplo, la homología de una operada topológica es otra operada. ¿Tiene tu operada alguna operada relacionada que sea conocida o interesante por otros motivos?
-
(Editar, idea de la sugerencia de ciclicidad de Jeff) Las operadas a veces encajan en estructuras algebraicas superiores aún más grandes. Jeff menciona las operadas cíclicas, pero también hay PROPs, por ejemplo. Usted podría considerar que tal vez usted está tratando con algo que es "más que" una operada.
Eso sería un comienzo.
Jake
Puntos
11
Hola Connie. Permíteme usar tu pregunta como excusa para una respuesta extensa. Un par de artículos breves "Definiciones: operadas, álgebras y módulos" y "Operadas, álgebras y módulos", que están disponibles en http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf y http://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/handout.pdf (# 84,85 en mi sitio web) dan varias variantes y reformulaciones de la definición original junto con algunos antecedentes, una variedad de ejemplos algebraicos y topológicos y la relación crucial con las mónadas que me llevó a acuñar la palabra "operada". También se discute la relación con el álgebra homológica, mostrando mostrando cómo la teoría homológica se simplifica si se trabaja sobre un campo de característica cero y, en cambio, cómo las operadas codifican las operaciones de homología (operaciones de Steenrod y la operación Dyer-Lashof) si se trabaja sobre un campo de característica finita. Notas para una charla, http://www.math.uchicago.edu/~may/TALKS/SwitzerlandTalk.pdf , amplíen la información el último punto.
La distinción de las características ilustra un punto general. Las operadas se definen se definen en cualquier categoría monoidal simétrica, y las preguntas correctas dependen en gran depende en gran medida de la categoría en la que se trabaje. Puede que no tenga ningún sentido hacer preguntas algebraicas de una operada topológica o preguntas topológicas de una operada algebraica. algebraica. También hay que distinguir entre las preguntas que hay que hacer sobre las operadas y las preguntas sobre sus álgebras. Por cierto, los grupos no son, por diseño, ejemplos de ejemplos de álgebras sobre una operada: para definir las inversas, se necesitan diagonales, y las operadas no están pensadas, o mejor dicho, no están pensadas para incorporar esa estructura. Las preguntas que hay que hacerse también dependen del papel que desempeñe su observación. Las operadas permiten una taxonomía de ciertos tipos de estructuras algebraicas, por lo que la pregunta puede ser simplemente ser "qué tipo de estructura estoy viendo".
Pero también podría preguntarse si las álgebras que está viendo dan más sencillas "aproximaciones'' de estructuras más complicadas o menos accesibles que se dan "en la naturaleza". Por ejemplo, los espacios $\Omega^n\Sigma^n X$ se dan en la naturaleza, pero pueden muy útil aproximarse a las mónadas $C_nX$ asociados a las operadas apropiadas.
También podría preguntarse si las operadas pueden utilizarse para definir rigurosamente nuevas estructuras que se quieran estudiar. Un ejemplo muy reciente surgió en el trabajo de Bertrand Guillou y mío en la teoría de espacios de bucles infinitos equivariantes: se intuye lo que es un genuino monoidal simétrica estricta $G$ -que da lugar a una verdadera categoría. $G$ -espectro; la mejor definición que conocemos es que dicha categoría es un álgebra sobre una operada particular en $Cat$ (ver https://arxiv.org/abs/1207.3459 ). De forma análoga surgieron algunas variantes recientes de la definición de una operada.
En el álgebra, las operadas muy sencillas prescriben unas tipos de álgebras. Loday y algunos de sus alumnos (no recuerdo los nombres) dieron varios ejemplos.
Si bien se pueden hacer preguntas sobre la teoría de homotopía de las operadas en general utilizando la teoría de la categoría de modelos, esa es quizás la pregunta que menos me gusta preguntar: rara vez llega al corazón de las aplicaciones, salvo las de la teoría de categorías de categorías superiores, o eso me parece. Las categorías modelo de las álgebras sobre óperas particulares juegan un papel importante en muchas aplicaciones, aunque aunque a veces sólo implícitamente.
Me detendré aquí, ya que podría continuar eternamente.
Un comentario. Aunque el libro de Martin-Shnider-Stasheff es un compendio útil, sus tratamientos de los diferentes temas no están todos al mismo nivel, y es posible que se prefiera una tratamientos menos exhaustivos que aborden mejor sus direcciones de interés. Y la gente Y hay que advertir que la definición de operada en ese libro es realmente incorrecta: omite una omite una propiedad de equidad crucial que tiene una importancia real en las aplicaciones. Por ejemplo, juega un papel juega un papel clave en la demostración de las relaciones Adem para las operaciones Steenrod y Dyer-Lashof. El libro de Benoit Fresse "Modules over operads and functors" ofrece una visión bastante diferente sobre operadas, centrándose en los módulos sobre álgebras sobre operadas.
Seth Hikari
Puntos
456
Creo que esto podría merecer una respuesta aparte, así que allá voy.
May tiene dos versiones de Geometry of Iterated Loop Spaces en su página web, una tipo set y otra en Tex. Aquí es donde se inventaron las operadas (aunque sólo sea de nombre, no voy a insistir en la historia, y no quiero faltar al respeto). Es útil aunque sólo sea porque es un tratamiento temprano, no lo leas demasiado, probablemente no más allá del capítulo 5. Los diagramas no le parecerán naturales hasta que tenga sus dos ejemplos, la pequeña operada n-cubos y la operada endomorfismo de un espacio topológico.
Luego, si no antes, lee un poco de Adams Infinite Loop Spaces, él usa accesorios pero eso está bien.
Estas son sólo pequeñas introducciones que hacen hincapié en la parte de la teoría de la homotopía, hay otros aspectos, sólo que no los conozco (apenas conozco la parte de la teoría de la homotopía). Y cuando te pongas triste y te atasques en algo, busca alguna operada nueva, aquí hay dos ejemplos: la operada del queso suizo y la operada del cactus.
gracias Ryan por recordarme a May, casi todo lo que ha publicado está disponible legalmente en su página web, ¡si no más!
ademar111190
Puntos
111
Desde un punto de vista principalmente combinatorio de las operadas, he aquí una lista de preguntas típicas que se pueden hacer sobre una operada $\mathcal{P}$ .
-
Si $\mathcal{P}$ se define como una suboperación de una operada mayor $\mathcal{Q}$ y tienen un número finito de elementos (o dimensión finita) de aridad $n$ para todos $n \geq 1$ puede preguntar por su dimensiones y su serie de Hilbert;
-
También puede preguntar por un presentación de $\mathcal{P}$ por generadores y relaciones entre sus generadores;
-
Si $\mathcal{P}$ se define por una presentación que puede preguntar sobre un realización de $\mathcal{P}$ que es un ejemplo explícito de una operada que admite la misma presentación que $\mathcal{P}$ (por lo tanto, en otras palabras, una operada isomorfa con $\mathcal{P}$ ) y una forma de calcular explícitamente la composición de dos objetos;
-
También vale la pena estudiar la simetrías de $\mathcal{P}$ y encontrar una descripción precisa de sus automorfismos y antiautomorfismos;
-
Y, por supuesto, siempre es interesante describir y estudiar la suboperaciones de $\mathcal{P}$ (el punto anterior puede ayudar en este caso).
