¿Cuál es el enunciado preciso de la correspondencia entre los haces de Higgs estables en una superficie de Riemann, las soluciones a las ecuaciones de autodualidad de Hitchin en la superficie de Riema

Question

Estoy tratando de encontrar el enunciado preciso de la correspondencia entre los haces de Higgs estables en una superficie de Riemann $\Sigma$ soluciones (irreducibles) de las ecuaciones de autodualidad de Hitchin en $\Sigma$ y representaciones (irreducibles) del grupo fundamental de $\Sigma$ . Me resulta un poco difícil encontrar una referencia que contenga la declaración precisa. Principalmente, me gustaría saber la declaración para el caso de la estabilidad $GL(n,\mathbb{C})$ Paquetes de Higgs. Pero si alguien conoce el enunciado para haces de Higgs más generales también estaría bien.

Sólo a nivel de conjuntos digamos y no de espacios de moduli, creo que la afirmación es que las siguientes 3 cosas son lo mismo, si estoy leyendo correctamente el artículo original de Hitchin:

• estable $GL(n,\mathbb{C})$ Paquetes de Higgs módulo de equivalencia,

• irreducible $U(n)$ (o es $SU(n)$ ?) soluciones de las ecuaciones de Hitchin módulo de equivalencia,

• irreducible $SL(n,\mathbb{C})$ (o es $GL(n,\mathbb{C})$ ? $PSL$ ? $PGL$ ?) representaciones de $\pi_1$ modulo de equivalencia.

¿Es esto correcto? ¿Hay alguna referencia?

El artículo original de Hitchin (titulado "Self duality equations on a Riemann surface") realiza algunas maniobras confusas; por ejemplo, considera soluciones de las ecuaciones de autodualidad para $SO(3)$ en lugar de para $U(2)$ o $SU(2)$ que me parecería más natural. Además, por ejemplo, no mira todos los haces de Higgs estables, sino sólo un cierto subconjunto de ellos - pero creo que esto es sólo con el fin de obtener una suave espacio de moduli. Y por último, Hitchin examina $PSL(2,\mathbb{C})$ representaciones de $\pi_1$ en lugar de $SL(2,\mathbb{C})$ representaciones o $GL(2,\mathbb{C})$ representaciones, lo que me confunde también...

¡¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!!

EDITAR: Tenga en cuenta que sólo me interesa el caso de una superficie de Riemann. Aquí parece que grado cero los haces de Higgs estables corresponden a $GL(n,\mathbb{C})$ representaciones. Pero la pregunta sigue siendo: ¿son los haces de Higgs estables de grado arbitrario ¿relacionado con las representaciones? Si es así, ¿qué representaciones y cómo están relacionadas? Además, creo que los haces de Higgs estables en general deberían corresponder a soluciones de las ecuaciones de autodualidad, pero ¿cuál es el grupo correcto que hay que tomar? ("Grupo de galgas"? ¿Es esa la terminología correcta?) Creo que es $U(n)$ pero no estoy seguro.

Por ejemplo, en el artículo de Hitchin, considera el caso de haces de Higgs estables de rango 2 de Grado impar y el haz de líneas determinante fijo, con campo de Higgs de traza cero (véase el Teorema 5.7 y el Teorema 5.8). En cuanto a las ecuaciones de autodualidad, utiliza el grupo $SU(2)/\pm 1$ . Obtenemos un espacio de moduli liso. En la discusión que sigue al Teorema 9.19, se demuestra que este espacio de moduli es un cubriendo del espacio de $PSL(2,\mathbb{C})$ representaciones. Parece que esto debería generalizarse...

Answer 1

Paquetes de Higgs estables $(E,\theta)$ con clase de Chern desaparecida sobre una superficie de Riemann compacta y lisa (modulando la acción de $\mathbb{C}^*: \theta \mapsto t\cdot \theta$ ) están en biyección con los irreducibles ( $GL(n))-$ representaciones de $\pi_1(X)$ . Este resultado en toda su generalidad se debe a C.Simpson (para cualquier variedad proyectiva lisa) ( Paquetes de Higgs y sistemas locales , Módulos de representaciones del grupo fundamental de una variedad proyectiva lisa. I y Módulos de representaciones del grupo fundamental de una variedad proyectiva lisa. II ) y por S.Donaldson para las superficies.
También cualquier haz de Higgs estable admite una métrica Hermitiana-Yang-Mills (este resultado también se debe a Simpson Construcción de variaciones de la estructura de Hodge utilizando la teoría de Yang-Mills y aplicaciones a la uniformización. para variedades complejas generales), que es una solución de la ecuación de Hitchin. Por otro lado, cualquier haz de Higgs con estructura Hermitian-Yang-Mills es poliestable (suma directa de haces estables de la misma pendiente).

Answer 2

Véase Ó. García-Prada el apéndice de la tercera edición del libro Differential Analysis on Complex Manifolds de R.O. Wells. Aborda la mayor parte de lo que preguntas de forma bastante explícita, en el contexto de las superficies de Riemann, y tiene referencias a los artículos originales. También puede ser útil el libro de Lübke y Teleman sobre la correspondencia Kobayashi-Hitchin.

Answer 3

Me sorprende que nadie haya mencionado la exposición de Bourbaki de Le Potier:

Fibras de Higgs y sistemas locales Seminario Bourbaki, 33 (1990-1991), Documento nº 737, 48 p.

Answer 4

Con respecto a $PGL(n,{\mathbb C})$ vs $SL(n,{\mathbb C})$ Tienes razón en que el $n=2$ caso se generaliza. En una superficie de Riemann, los módulos de rango $n$ grado $d$ haces de Higgs semiestable con determinante fijo es un $n^{2g}$ cobertura de un componente del espacio de moduli de $PGL(n,{\mathbb C})$ representaciones del grupo fundamental. Los componentes están etiquetados por $d$ mod $n$ , $d=0$ correspondientes a las representaciones que se elevan a $SL(n,{\mathbb C})$ . El espacio original de Hitchin es un $2^{2g}$ cobertura del componente de $PGL(2,{\mathbb C})$ representaciones que consisten en representaciones que sí no levantar.