Intuición de por qué ln|x| es la integral de 1/x

Question

Preguntas simples aquí, pero mirando los gráficos de $ln|x|$ y $\frac{1}{x}$ No veo por qué esto funciona. Especialmente desde la perspectiva de "la integral es el área bajo la curva", en el intervalo x = (0,1), $\frac{1}{x}$ es positivo mientras que $ln|x|$ es negativo.

Además, porque $ln|x|$ y $\frac{1}{x}$ son ambos indefinidos para $x = 0$ ¿significa eso que $\int_{-a}^{b} \frac{1}{x+c}$ es siempre indefinido?

Answer 1

En realidad, la integral $$\int_{0}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}$$ diverge, pero para resaltar la intuición, consideremos $$\int_{\varepsilon}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}$$ para algunos (pequeños) $\varepsilon\in(0,1)$ . Entonces, la regla de Newton-Leibniz implica que $$\int_{\varepsilon}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln(1)-\ln(\varepsilon)=-\ln(\varepsilon).$$ Desde $\varepsilon<1$ , $\ln(\varepsilon)<0$ , lo que implica que la integral será positiva. No hay ninguna contradicción.

De forma más general, supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es integrable en $[a,b]$ , donde $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ . Si $F$ es una antiderivada de $f$ el valor de la integral será $$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$ Es decir, lo único que importa es el diferencia entre los valores de $F$ evaluado en los dos puntos finales del intervalo. El valor real signo de $F$ a lo largo del intervalo no importa.