¿Cómo puedo saber si las matrices son similares?

Question

Tengo dos $2\times 2$ matrices, $A$ y $B$ con el mismo determinante. Quiero saber si son similares o no.

Lo he resuelto utilizando una matriz llamada $S$ : $$\left(\begin{array}{cc} a& b\\ c& d \end{array}\right)$$ y su inversa en términos de $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , mostrando entonces que no había solución a $A = SBS^{-1}$ . Eso funcionó bien, pero ¿qué voy a hacer si tengo $3\times 3$ o $9\times 9$ ¿matrices? No puedo hacer un sistema tan complejo y resolverlo. ¿Cómo puedo saber si dos matrices cualesquiera representan la "misma" transformación lineal con bases diferentes?

Es decir, cómo puedo encontrar $S$ ese cambio de matriz base?

Intenté hacer $A$ y $B$ en transformaciones lineales... pero sin las bases de las transformaciones lineales no tenía forma de compararlas.

(He leído que matrices similares tendrán los mismos valores propios... y la misma "traza" -pero mi clase no ha estudiado esto todavía. Además, puede darse el caso de que algunas matrices con la misma traza y valores propios no sean similares, así que esto no resolverá mi problema).

Tengo una idea. ¿Quizás si miro las formas de col. y fila reducidas me diga algo sobre la base de la transformación lineal? Sin embargo, no estoy seguro de cómo funcionaría esto. Por favor, ayuda.

Answer 1

La segunda técnica que mencionas es la forma de hacerlo, utilizando lo que se llama una "Radio Definida por Software" o SDR. Muchos radioaficionados utilizan SDRs, y los más sencillos son muy baratos, unos 30 dólares por un kit que convierte la entrada en salida de audio de banda base en fase y cuadratura que se introduce en las entradas estéreo de una tarjeta de sonido de PC para el procesamiento digital de la señal. Sin embargo, están utilizando señales de frecuencia relativamente baja en las bandas de radioaficionados de HF, y el hardware no utiliza ningún componente exótico. Digitalizar las señales de VHF como necesitas y recibir varios canales simultáneamente va a ser bastante caro, sólo el ADC va a costar unos 50 dólares y también necesitarás una FPGA y un DSP, a menos que conviertas a banda base y hagas el DSP en un PC. Necesitarás mucha experiencia en el diseño de alta frecuencia, ser capaz de desarrollar código para la FPGA, escribir el código del DSP y ser capaz de diseñar una placa de circuito impreso multicapa de alta velocidad, así que deberías empezar a estudiar. :)

En cuanto al coste, yo calcularía 500 dólares para el hardware, incluida la placa de circuito impreso, suponiendo que lo hayas diseñado tú mismo.

¡Linear Technology fabrica ADCs adecuados que pueden hacer downsample a 750 MHz! Fueron lo suficientemente buenos como para darme un par de muestras gratuitas. Tengo placas FPGA y DSP adecuadas, así que sólo es cuestión de juntarlas :)

Answer 2

Mi profesora, la Dra. Miryam Rossett, proporcionó lo siguiente en sus notas complementarias a su curso lineal 1 (con algunas pequeñas adiciones mías):

1. Demuestre que las matrices representan la misma transformación lineal según diferentes bases. Esto es generalmente difícil de hacer.
2. Si uno es diagonalizable y el otro no, entonces no son similares.
3. Examinar las propiedades de las matrices similares. ¿Tienen el mismo rango, la misma traza, el mismo determinante, los mismos valores propios y el mismo polinomio característico? Si alguna de ellas es diferente, las matrices no son similares.
4. Comprueba la multiplicidad geométrica de cada valor propio. Si las matrices son similares deben coincidir. Otra forma de ver esto es que para cada $\lambda_i$ , $dimKer(\lambda_i I-A_k)$ debe ser igual para cada matriz. Esto también implica que para cada $\lambda_i$ , $dimIm(\lambda_i I-A_k)$ debe ser igual ya que $dimIm+dimKer=dimV$
5. Suponiendo que ambos son diagonalizables, si ambos tienen los mismos valores propios entonces son similares porque la similitud es transitiva. Son diagonalizables si las multiplicidades geométricas de los valores propios suman $dimV$ o si todos los valores propios son distintos, o si tienen $dimV$ vectores propios linealmente independientes.

Los números 3 y 4 son necesarios pero no suficientes para la similitud.

Answer 3

En primer lugar, el $2\times2$ caso es fácil: dos $2\times2$ son similares si y sólo si tienen el mismo polinomio característico, y ninguna de ellas es una matriz escalar (múltiplo de la identidad). Esto se debe esencialmente a que para matrices tan pequeñas el polinomio característico deja muy poco espacio para la variación del polinomio mínimo (y otros factores invariantes que en este caso se derivan de él).

Existe un método de decisión que funciona con total generalidad (cualquier campo $~K$ , cualquier tamaño $~n$ matrices cuadradas) y es teóricamente sencillo: calcular los factores invariantes determinando la Forma normal de Smith de las matrices $XI_n-A$ y $XI_n-B$ (aquellos cuyos determinantes definen los respectivos polinomios característicos) como matrices con polinomios en $~X$ como entradas; entonces $A$ y $B$ son similares si y sólo si se encuentran listas idénticas de factores invariantes.

Con "teóricamente sencillo" me refiero a que el método sólo utiliza operaciones básicas en $~K$ se podría esperar que realizara: aritmética de escalares y comprobación de la igualdad; notablemente no requiere encontrar raíces o factorizar polinomios como haría cualquier método basado en valores propios. Esencialmente, el algoritmo de la forma normal de Smith es una generalización de la eliminación gaussiana, pero trabajando sobre un PID en lugar de sobre un campo (lo que aquí significa: hacer operaciones polinómicas sobre las entradas de los polinomios, en lugar de usar sólo escalares), y permitiendo operaciones de columna así como operaciones de fila. El objetivo final es reducir la matriz a su forma normal de Smith, que tiene entradas no nulas (polinómicas) sólo en la diagonal principal, y que son polinomios mónicos tales que cada uno divide al siguiente (en general, también podría haber ceros finales, pero eso no ocurre aquí ya que nuestras matrices iniciales tienen determinantes mónicos, por lo tanto no nulos). Las entradas diagonales encontradas que son diferentes de $~1$ son los factores invariantes de $A,B$ respectivamente; el último es el polinomio mínimo y su producto es el polinomio característico. Por supuesto, estos dos polinomios también pueden calcularse por otros métodos, y si alguno de ellos difiere entre $A$ y $B$ esto basta para demostrar que no son similares; sin embargo, en el caso general (bastante raro) se necesitan todos los factores invariantes. En la mayoría de los casos habrá muchas entradas diagonales $~1$ seguido de uno o muy pocos polinomios no constantes que son los factores invariantes.

Que sea teóricamente sencillo no significa que el procedimiento sea fácil de realizar (a mano), ya que es como en versión iterada del algoritmo euclidiano en el anillo $K[X]$ de polinomios, cuyo algoritmo destaca por producir resultados intermedios muy complicados, al menos cuando $K=\Bbb Q$ (y sobre $\Bbb R$ o $\Bbb C$ el algoritmo no es realmente eficaz, ya que la comprobación de la igualdad no es posible con precisión). Sin embargo, funciona bien en campos finitos.

Answer 4

Si tienes dos matrices específicas, A y B, aquí hay un método que funcionará. Es complicado, pero funcionará para dos matrices cualesquiera, independientemente de su tamaño. Primero, reescribe la ecuación de similitud en la forma AS=SB, donde S es una matriz de variables. Multiplica ambas matrices para obtener un conjunto de ecuaciones lineales al n-cuadrado en incógnitas al n-cuadrado. Resuelve el sistema utilizando la eliminación de Gauss-Jordan. Es necesario utilizar la forma del algoritmo de Gaussian-Jordan que produce matrices en forma de fila-echelón cuando no hay una única solución para el sistema. El sistema de ecuaciones siempre tiene una solución, la matriz cero. Si la eliminación de Gaussian-Jordan produce una única solución, las matrices no son similares. Si hay más de una solución, la matriz fila-echelón puede resolverse para un conjunto de vectores base del espacio solución. Como los términos constantes son todos cero, cualquier matriz generada por los vectores base es una matriz de similitud para A y B.

Answer 5

Son similares si comparten los mismos valores propios. Son similares si tienen el mismo polinomio característico, el mismo determinante y la misma dimensión.