$\newcommand{\ko}{\mathit{ko}} \newcommand{\MTSpin}{\mathit{MTSpin}} \newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ Como Mike señala en su comentario, no es obvio lo que significa para un invariante de bordismo es "topológico" o "geométrico". Las invariantes de bordismo que mencionas pueden describirse topológicamente, y algunas invariantes de bordismo que podrías considerar topológicas también admiten descripciones geométricas. descripciones geométricas.
Los números de Pontrjagin son invariantes de bordismo orientado que parecen topológicos: tome una clase de cohomología en su variedad y evalúala en la clase fundamental. Por ejemplo, hay un mapa inyectivo $\Omega_4^{\mathrm{SO}}\to\mathbb Z$ enviando un cerrado, orientado $4$ -manifold $X$ a $\langle p_1(X), [X]\rangle$ aquí $p_1$ es el primer Pontrjagin clase de $X$ .
Sin embargo, existe una definición equivalente y "geométrica" de este invariante: elegir una conexión sobre el haz vectorial $TX\to X$ y que $F$ sea su curvatura. Entonces se puede dar sentido a $\mathrm{tr}(F\wedge F)\in\Omega^4(X)$ y la teoría de Chern-Weil demuestra que $$ -\frac{1}{8\pi^2}\int_X \mathrm{tr}(F\wedge F) = \langle p_1(X), [X]\rangle. $$ Ciertamente, una conexión es un dato geométrico, por lo que este invariante es tanto "topológico" como "geométrico".
El pasador $^\pm$ Los invariantes de bordismo que mencionas admiten interpretaciones geométricas (vía $\eta$ -), pero también topológicas, aunque la topología es más difícil de ver. En primer lugar, reformulemos el invariante de bordismo anterior en términos de de los espectros de Thom: la clase característica $p_1\in H^4(B\mathrm{SO})$ define mediante el isomorfismo de Thom una cohomología en $\tilde H^4(M\mathrm{SO})$ Por lo tanto, un mapa $M\mathrm{SO}\to\Sigma^4 H\mathbb Z$ y al tomar $\pi_4$ obtenemos el mapa $\Omega_4^{\mathrm{SO}}\to\mathbb Z$ desde arriba.
El sentido de esta reformulación es que al sustituir $H\mathbb Z$ (es decir, la cohomología ordinaria) con otras cohomologías teorías, podemos describir los invariantes que has mencionado anteriormente.
- Como calentamiento, tomemos el invariante Arf de una superficie de espín, que define un isomorfismo $\Omega_2^{\mathrm{Spin}}\to\mathbb Z/2$ . Hay varias maneras de definirlo, pero aquí hay una que coincide con nuestra descripción anterior de $p_1$ : tenemos el mapa Atiyah-Bott-Shapiro $\mathit{ABS}\colon\MTSpin\to\ko$ , 1 y al tomar $\pi_2$ , este da lugar a un mapa $\Omega_2^{\mathrm{Spin}}\to \pi_2\ko\cong\mathbb Z/2$ . Se puede desenvolver esta definición a través del Pontrjagin-Thom y obtener una descripción del invariante Arf mediante la integración de $\ko$ -cohomología clases.
- A continuación, el invariante Arf-Brown-Kervaire. Hay un desdoblamiento $\mathit{MTPin}^-\simeq\MTSpin\wedge \Sigma^{-1}\mathit{MO}_1$ , donde $\mathit{MO}_1$ es el espectro de Thom del haz tautológico $\sigma\to B\mathrm O_1$ . Por lo tanto, romper el mapa Atiyah-Bott-Shapiro con $\Sigma^{-1}\mathit{MO}_1$ obtenemos un mapa $$ \mathit{MTPin}^-\simeq\MTSpin\wedge \Sigma^{-1}\mathit{MO}_1\longrightarrow \ko\wedge\Sigma^{-1}\mathit{MO}_1. $$ Tomando $\pi_2$ obtenemos un mapa $$\Omega_2^{\mathrm{Pin}^-}\to \pi_2(\ko\wedge \Sigma^{-1}\mathit{MO}_1)\cong \widetilde{\ko}_3(\mathit{MO}_1)\cong\Z/8,$$ y este es el invariante Arf-Brown-Kervaire. 2 Esto también puede describirse en términos de un pushforward en retorcido $\ko$ -Teoría.
- El mismo enfoque funciona $\Omega_4^{\mathrm{Pin}^+}\to\Z/16$ , utilizando esta vez el desdoblamiento $\mathit{MTPin}^+\simeq\MTSpin\wedge\Sigma\mathit{MTO}_1$ aquí $\mathit{MTO}_1$ es el espectro Thom del haz virtual $-\sigma\to B\mathrm O_1$ . Romper el mapa de Atiyah-Bott-Shapiro con $\Sigma\mathit{MTO}_1$ y tomando $\pi_4$ produce un mapa $\Omega_4^{\mathrm{Pin}^+}\to \widetilde{\ko}_3(\mathit{MTO}_1)\cong\Z/16$ .
- El mismo enfoque funciona para $\Omega_2^{\mathrm{Pin}^-}(B\Z/2)\to\Z/4$ : $$\Omega_2^{\mathrm{Pin}^-}(B\Z/2)\cong\pi_2(\MTSpin\wedge \Sigma^{-1}\mathit{MO}_1\wedge (B\Z/2)_+),$$ que se asigna a $$\pi_2(\ko\wedge \Sigma^{-1}\mathit{MO}_1\wedge (B\Z/2)_+) = \widetilde{\ko}_3(\mathit{MO}_1\wedge (B\Z/2)_+)\cong\Z/4.$$
Si se pregunta qué invariantes de bordismo provienen de las clases de cohomología, la respuesta es que las clases características para $n$ -dimensional $G$ -bordismo en vivo $H^n(BG;A)$ , donde $A$ es un grupo de coeficientes; a $G$ -estructura en un colector $M$ retira esta clase a $M$ y luego lo evaluamos en la clase fundamental. En general, esto no todo: por ejemplo, si dos $G$ -tienen la misma orientación subyacente, sus valores en cualquier invariante de bordismo cohomológico coincidirán. Así, por ejemplo, el invariante Arf no es cohomológico, ya que hay diferentes estructuras de espín en un toro que inducen la misma orientación, pero tienen diferentes invariantes de Arf. Por eso por qué las descripciones topológicas de tales invariantes de bordismo utilizan la cohomología generalizada.
1: Aquí, dada una $G$ -estructura $X\to B\mathrm O$ , $\mathit{MTG}$ es el espectro de Thom cuyos grupos de homotopía son los grupos de bordismo de las variedades con un $G$ -estructura en el tangente en lugar de en el paquete normal estable estable. Esta distinción es irrelevante para el bordismo de espín, pero es importante para el pin $^\pm$ el bordismo.
2: El invariante Arf-Brown-Kervaire depende de la elección de una raíz 8ª de la unidad; dependiendo de esta elección, podríamos necesitar componer con un automorfismo de $\Z/8$ para obtener "el" invariante Arf-Brown-Kervaire. La misma advertencia se aplica a la $\Z/16$ y $\Z/4$ invariantes.
