Evaluación del límite mediante expansiones de taylor

Question

¿Cómo puedo evaluar este límite? Probar con Taylor no parece darme el resultado adecuado, ¿Por qué?

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+4x} -1 -\sin(2x)}{\log(1+x^2)}$$

con Taylor puedo aproximarme $\sin(2x)$ a $ 2x $ y $\log(1+x^2)$ a $ x^2 $ . Si introduzco estos en los límites no me da el límite correcto, ¿qué estoy haciendo mal?

Answer 1

$$\log(x^2+1)\sim x^2$$ $$\sin(2x)\sim 2x -\frac{8}{6}x^3$$

$$ \sqrt{1+4x} -1\sim 2x-2x^2 $$ desde $$(\sqrt{1+4x} -1)'|_{x=0} = 2~and ~(\sqrt{1+4x} -1)"|_{x=0} = -4$$

$$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+4x} -1 -\sin{2x}}{\log{1+x^2}}\sim \lim_{x\to0}\frac{ -2x^2+\frac{8}{6}x^3}{ x^2} = -2$$

Answer 2

Es más conveniente utilizar la regla de L'Hospital y el hecho de que $\ln(1+x^2)\sim x^2$ como $x\to 0$ : $$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x}-1-\sin2x}{\ln(1+x^2)}\\=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+4x}-1-\sin2x}{x^2}\\=\lim_{x\to 0}\frac{2(1+4x)^{-1/2}-2\cos2x}{2x}\\=\lim_{x\to 0}\frac{-4(1+4x)^{-3/2}+4\sin2x}{2}=-2$$

Answer 3

Teorema del binomio: $(a+b)^n) = a^n + na^{n-1}b + \frac {n(n-1)}{2} a^{n-1}b^2 \cdots$

funciona para los exponentes fraccionarios

$(1+4x)^\frac 12 = 1 + \frac 12 (4x) - \frac 18 (4x)^2+ \cdots%$

$\sin x = x - \frac 16 x^2+\cdots\\ \sin 2x = (2x) - \frac16 (2x)^3+ \cdots$

numerador: $1 + 2x - 2x^2 - 1 - 2x + \frac 86 x^3 = -2x^2- \frac 16 x^3 + \cdots$

denominador:

$\ln (1 + x) = x - \frac 12 x^2 + \frac 13 x^3\\ \ln(1+x^2) = x^2 - \frac 12 x^4\cdots$

$-2$

Answer 4

Las series de Taylor pueden utilizarse tanto para las aproximaciones como para la evaluación de los límites. ¿Por qué quieres utilizar las series de Taylor para las aproximaciones cuando tu objetivo aquí es evaluar un límite? Para la pregunta actual utilice las siguientes expansiones de la serie de Taylor $$\log(1+x^{2})=x^{2}+o(x^{2}),\sqrt{1+4x}=1+2x-2x^{2}+o(x^{2}),\sin 2x=2x+o(x^{2})$$

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También se puede multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{1+4x}+1+\sin 2x$ para conseguir $$\dfrac{4x-2\sin 2x-\sin^{2}2x}{\dfrac{\log(1+x^{2})}{x^{2}}\cdot x^{2}\{\sqrt{1+4x}+1+\sin 2x\}}$$ Los factores primero y último del denominador tienden a $1$ y $2$ respectivamente y, por tanto, el límite deseado es igual al límite de $$\frac{2x-\sin 2x}{x^{2}}-\frac{\sin^{2}2x}{2x^{2}}$$ Poniendo $2x=t$ vemos que $t\to 0$ como $x\to 0$ y el límite deseado es igual al límite de la expresión $$4\cdot\frac{t-\sin t} {t^{2}}-2\cdot\frac{\sin^{2}t}{t^{2}}$$ La primera expresión tiende a $0$ y la segunda tiende a $2$ por lo que el límite deseado es $-2$ .

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Obsérvese que el límite de $(t-\sin t) /t^{2}$ se puede evaluar mediante la desigualdad $$\cos t<\frac{\sin t} {t} <1$$ lo que lleva a $$0<\frac{t-\sin t} {t^{2}}<\frac{1-\cos t} {t} $$ para $0<t<\pi/2$ . El resultado se deduce ahora fácilmente del teorema de Squeeze como $t\to 0^{+}$ .