¿Esta proyección es un mapa de cobertura?

Question

Si $\tilde X$ es el producto de $X$ con un espacio discreto, la proyección $\tilde X \to X$ es un mapa de cobertura.

Esta pregunta parece muy fácil, pero como soy principiante hay algunas cosas un poco confusas.

Para resolver esta cuestión, dejemos que $Y$ sea un conjunto con la topología discreta, por lo que tenemos que demostrar que $X\times Y\to X$ es un mapa de cobertura, para ello, dejemos que $x$ sea un punto en $X$ , entonces tome cualquier conjunto abierto $U$ que $x$ está contenido en para ser nuestro conjunto abierto uniformemente cubierto por $p$ Por lo tanto $p^{-1}(U)=U\times Y$ .

¿Estoy en el camino correcto? Estoy atascado aquí.

Gracias

Answer 1

Sí, básicamente estás ahí.

Tome cualquier punto $x\in X$ y observe que para un barrio $U$ de $x$ uno tiene que $p^{-1}(U)=\bigcup_{d\in D}\{d\}\times U$ donde $D$ es su espacio discreto. Ahora, cada uno de los $\{d\}\times X$ está abierto, y $p\mid_{\{d\}\times X}$ es un homeomorfismo. Por lo tanto, ¡has terminado!