igualdad de la propiedad de análisis complejo

Question

Necesito demostrar lo siguiente

$e^{\bar{z}} = \bar{e^{z}}$

con $e^z := \Sigma_{k = 0}^{k = \infty} \frac{z^k}{k!}$

El problema que estoy teniendo es que primero sabemos $e^z$ definidos de esa manera siempre convergen, pero lo que no entiendo es que tenemos que ver que $\bar{z^k}$ puesto en la fórmula anterior converge al mismo número que si hacemos la suma y luego converge a un número, y conjugamos eso. No sé cómo hacer eso..

Answer 1

En primer lugar, tenemos

$$\overline{\lim_{N\to \infty}S_N}=\lim_{N\to \infty}\overline{S_N}$$

En segundo lugar, tenemos

$$\overline{S_N}=\overline{\sum_{k=0}^Nf_k(z)}=\sum_{k=0}^N\overline{f_k(z)}$$

En tercer lugar, tenemos

$$\overline{f_k(z)}=\overline{\left(\frac{z^k}{k!}\right)}=\frac{\overline{z^k}}{k!}$$

Por último, tenemos

$$\overline{z^k}=\bar z^k$$

y hemos terminado, ya que esta última igualdad se deduce inductivamente del hecho de que $\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$ ¡!

Answer 2

Diga $z=x+iy$ . Entonces $$e^{\bar{z}}=e^xe^{-iy}=e^x\cos(y)-ie^x\sin(y)$$ $$\bar{e^{z}}=\bar{e^x\cos(y)+ie^x\sin(y)}=e^x\cos(y)-ie^x\sin(y).$$

Para hacerlo a tu manera: la conjugación es continua (es una isometría), por lo que respeta los límites de las secuencias.

Answer 3

Sabemos que $$\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}$$ converge para todo $z\in\Bbb C$ . Dejemos que $a_k=1/k!$ y $f(z)=e^z$ .

Ahora,

$$\begin{align}\overline{f(z)} & =\overline{\sum_{k=0}^\infty a_kz^k}\\ & = \sum_{k=0}^\infty a_k\overline z^k,\quad\text{because }a_k\in\Bbb R\\ & = f(\overline z). \end{align}$$

Answer 4

Dejemos que $x^*$ denotan el complejo conjugado de $ x$ ). Tenemos $$e^z= x_n(z)+\sum_{k=0}^{k=n} z^n/n!$$ y $$e^{z^*}=x_n(z^*)+\sum_{k=0}^{k=n}(z^*)^n/n!$$ donde $(x_n(z))_{n \in N}$ y $(x_n(z^*))_{n \in N}$ son secuencias que convergen a $0$ . Por lo tanto, $$(e^z)^*-e^{z^*}=(x_n(z))^*-x_n(z^*)$$ En la ecuación anterior, el lado izquierdo es independiente de $n$ y la RHS converge a $0$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto, el LHS es $0$ Este método se aplica a cualquier serie de potencias convergentes cuyos coeficientes son todos números reales.