Cómo encontrar todos los subgrupos de $(\mathbb{Q},+)$

Question

Ejercicio 1.6.13 de Scott libro de Teoría de grupos.

(Difícil) Encontrar todos los subgrupos de $(\mathbb{Q},+)$. Sugerencia: es ligeramente más fácil encontrar los subgrupos $H$ tal que $1\in H.$

He encontrado algunos de los subgrupos: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\langle 1,\frac{1}{2}\rangle$, $\langle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\rangle$, $\cdots $. Pero no puedo encontrar a todos ellos. Cómo encontrarlos?

Answer 1

Deje $A$ ser un subgrupo aditivo de $\mathbb Q$. Deje $D$ el conjunto de los denominadores que ocurren en $A$ cuando se considera reducción de fracciones sólo. A continuación, los siguientes son fácil de probar:

• $b\in D, u \mid b \implies u\in D$
• $u,v \in D, (u,v)=1 \implies uv \in D$

La primera propiedad significa que usted no puede aumentar la potencia de un primo en $D$. La segunda propiedad significa que usted puede combinar competencias de los diferentes números primos. Que deben darle una descripción de $D$.

$A \cap \mathbb Z$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb Z$ y estos son fáciles de caracterizar. Que deben darle una descripción del conjunto de $N$ de los numeradores en $A$.

Para una solución completa, ver el artículo

Ross A. Beaumont y H. S. Zuckerman, Una caracterización de los diferentes subgrupos de la aditivo racionales, Pacífico J. Math. Volumen 1, Número 2 (1951), 169-177. MR0044522