En clase hemos definido el siguiente producto interior:
Dejemos que $A\in M_n(\mathbb{R})$ y que $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ definirse como:
$$\langle x,y\rangle=x^TAy.$$
Ahora, necesito demostrar que el producto interior es simétrico si $A=A^{T}$ .
Prueba:
Primera dirección:
Si $A=A^{T}$ entonces $\langle Ax,y \rangle = \langle x,Ay \rangle$
$$\langle Ax,y \rangle =(Ax)^TAy=x^TA^TAy=x^TAAy=\langle x,Ay\rangle$$
La otra dirección:
Supongamos que $\langle Ax,y \rangle = \langle x,Ay \rangle$ queremos demostrar que $A=A^{T}$ .
En este caso he optado por mirar $x=e_i$ y $y=e_j$ , vectores de base estándar de $\mathbb{R}^n$ .
Me pregunté, ¿qué es $Ax$ ?
$Ax$ es la columna $i$ de $A$ Por lo tanto $$\langle Ax,y \rangle=(\text{row $ i $ of $ A $})Ae_j$$
Que es igual a:
$$(\text{row $ i $ of $ A $})(\text{column $ j $ of $ A $})$$
De la misma manera,
$$\langle x,Ay \rangle =(\text{row $ j $ of $ A $})(\text{column $ i $ of $ A $})$$
Aquí me detuve.
¿Es correcto mi camino hasta ahora? Si es así, ¿cómo puedo proceder?
Muchas gracias.
