La pregunta formulada para resolver la oda:
$ydx-4(x+y^6)dy=0$
La respuesta dada es $x=2y^6+cy^4$ ¿no es una trampa resolver para x en lugar de y? La sección del libro de texto en la que aparece esto, es la de ecuaciones lineales. Obviamente el $y^6$ desordena las cosas, pero tal vez puedas utilizar el álgebra o una técnica de resolución diferente en conjunto. ¿Cómo sabes que debes resolver para x en lugar de y?
$$y\frac{dx}{dy}-4(x+y^6)=0$$ Cambio de notaciones : $y=X$ y $x=Y$ $$X\frac{dY}{dX}-4(Y+X^6)=0$$ $$\frac{dY}{dX}-4\frac{Y}{X}=4X^5$$ Se trata de una EDO lineal, cuya resolución conduce a : $$Y=2X^6+cX^4$$ $$x=2y^6+cy^4$$ Si quieres $y(x)$ , resuelve para $t=y^2$ la ecuación de tercer grado $$2t^3+ct^2-x=0$$
Los profesores de mi país también resuelven las EDO para $x$ en lugar de $y$ si es más fácil hacerlo así, por ejemplo ODE:
\begin{align}y'(x+y^2 )= y^2 & \text{ (1)}\end{align}
La Ec(1) no es lineal respecto a x como variable independiente, pero es lineal respecto a x como función de la variable "independiente" y. Reordenando la Ec(1) se obtiene:
\begin{align}(x+y^2)dy = ydx ,\end{align}
Antes de dividir ambos lados por $dy$ para rendir $dx/dy = x'$ tenemos que comprobar si $dy 0 y C$ , C es constante, es una solución de la Ec(1). En este caso $y = 0$ es efectivamente una solución de la Ec(1). Por lo tanto, con $y 0$ , dividir ambos lados por $dy$ :
\begin{align}x + y^2 = y \frac{dx}{dy} x + y^2 = yx'\end{align}
A continuación, dividir ambos lados por y, que es distinto de cero desde arriba, da:
\begin{align}x' - \frac{x}{y} = y^2 & \text{ (2), which is linear.} \end{align}
El factor integrador: I = $e^{\frac{-1}{y} dy}$ = $e^{-ln\lvert y\rvert}$ = $\lvert y\rvert^{-1}$ . Multiplicando ambos lados de la Ec(2) por I, se obtiene:
\begin{align}\frac{dx}{dy}[\lvert y\rvert^{-1}x] = \lvert y\rvert^{-1} y x = \lvert y\rvert\frac{y}{|y|} dy\end{align}
Hay un argumento aquí, puedes eliminar los signos absolutos porque |y| fuera y debajo del símbolo integral siempre tienen el mismo signo:
\begin{align} x = ydy x = y(y + C_1)\end{align}
En conclusión:
\begin{align}Eq(1) [ \begin{array} y = 0 \\ x = y(y + C_1) \end{array} |end{align} (No sé cómo codificar el gran braket cuadrado de la izquierda, el programa no da y =0, perdón por las molestias).
** Sin embargo, este método me parece un poco ambiguo. Cuando intercambiamos el papel de $y$ para $x$ ( $x$ en función de $y$ ), ¿suponemos automáticamente que existe una función inversa $y = f^{-1}(x)$ ? Si la respuesta es Sí entonces, ¿cómo sabemos que esta función inversa existe realmente? No cualquier función tiene una función inversa. Para tener una función inversa $y = f^{-1}(x), y = f(x)$ tiene que ser una función uno a uno (véase la sección 1.6, Cálculo de los primeros trascendentes $6^{th}$ Edición de James Stewart). Por ejemplo:
La función $y = f(x) = x^3$ es una función uno a uno y su función inversa es $y = f^{-1}(x) = x^{1/3}$ . La función $y = f(x) = x^2 -2$ no es una función uno a uno porque si resolvemos para $x$ : $x = ±\sqrt{y+2}$ o $y = ±\sqrt{x+2}$ que son dos funciones diferentes de $x$ . La función, $y = f(x) = x^2 - 2$ no pasa la prueba de la línea horizontal para ser una función uno a uno (ver Ibid)
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