Tratando de entender el espacio dual / los vectores duales / las formas 1

Question

Soy nuevo en esto de la geometría diferencial. Estoy tratando de entender el concepto de espacio dual y vectores duales. Encontré esta gran respuesta en otro post de stack exchange aquí pero tengo algunas preguntas.

Sé que si dos conjuntos de vectores $V^{\mu}$ y $W_{\nu}$ son duales entre sí, entonces $V^{\mu}W_{\nu} = \delta^{\mu}_{\;\;\nu}$ . Así que digamos que $V = (1,x,x^2)$ y $W = (a,b,c)$ entonces el producto interior define $a + bx + cx^2 = 0$ . Que ahora es un elemento de $\mathbb{R}$ .

Así que aquí radica mi confusión. Yo diría que $W$ es un vector dual, sin embargo en la respuesta que enlacé, él define el proceso de traer $V$ a $\mathbb{R}$ como un mapa. Entonces, ¿el mapa es el vector dual real $W$ ? ¿O el mapa se define a través del producto interior de $V$ y $W$ ? Sé que los vectores duales también se llaman formas 1. ¿Es debido a este proceso de mapeo? ¿Se puede definir un vector regular como una forma 1 en relación con su vector dual?

Espero que todo esto tenga sentido.

Answer 1

El espacio dual de un espacio vectorial, es el espacio de todos los funcionales lineales (es decir, mapas del espacio vectorial a su campo escalar que satisfacen la Linealidad).

Es un hecho no trivial que para espacios vectoriales de dimensión finita, el espacio dual del espacio dual de ese espacio vectorial es isomorfo a ese espacio vectorial (estructuralmente el mismo espacio; este resultado no se mantiene en general para espacios vectoriales de dimensión infinita).

Nota: La linealidad es la propiedad de que la función "conmuta" con los escalares, y "distribuye" sobre la suma de vectores.

Uno de los principales teoremas sobre los espacios duales es este:

Dado un par de espacios vectoriales, $V,W$ y un mapa lineal, $T:V\rightarrow W$ entonces existe un mapa lineal correspondiente, $T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}$ llamado transpuesto o dual o adjunto de ese mapa lineal. (Por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Transpose_of_a_linear_map )