Si $G = R - \{0\}$ es un grupo multiplicativo y $H = R^+$ es un grupo multiplicativo, describir geométricamente los cosets de $H$ en $G.$

Question

Si $G = \mathbb{R} - \{0\}$ es un grupo multiplicativo y $H = \mathbb{R}^+$ (los reales positivos) es un grupo multiplicativo, describe geométricamente los cosets de $H$ en $G.$

¿Cómo se describirían geométricamente? Un coset es $Ha = aH$ (ya que $G$ es abeliano), y parece que un coset de $H$ es un mapa lineal sobre $H.$ ¿Algo así?

Answer 1

Sabemos que $G,H$ son ambos grupos abelianos bajo multiplicación, y que $H$ es un subgrupo de $G$ . Por lo tanto, es equivalente pensar en $aH$ o $Ha$ . En este caso,

$$aH = \{ ah \mid a \in G, h\in H \} = \{ ah \mid a \in \Bbb R -\{ 0\}, h\in \Bbb R^+ \}$$

A la luz de esta formulación, queda claro que los cosets son sólo escalamientos de $\Bbb R^+ = (0,\infty)$ por alguna constante real no nula $a$ .

Cuando se enmarca en esa luz, no debería ser difícil de convencer a ti mismo $aH = H$ ( $a \Bbb R^+ = \Bbb R^+$ ) para $a>0$ y para $a<0$ se obtiene $-H$ ( $\Bbb R^-=(-\infty,0)$ ).

Considerando ahora que el conjunto de cosets de un subgrupo forman una partición del grupo original, debería ser fácil determinar los cosets en este punto.