¿Cuál es el valor esperado del siguiente juego?

Question

Se le ofrece un juego en el que selecciona un billete al azar entre 4 billetes: $1, $ 5, $10, and $ 20. Se le da la opción de quedarse con el billete que sacó o volver a sacar con reemplazo, pero si saca la segunda vez, debe quedarse con él. ¿Cuál es el valor esperado de este juego? ¿Cómo cambia el valor esperado si puedes elegir volver a sacar una segunda vez?

Conseguí 12 dólares para el primer juego, pero no estaba seguro de cómo abordar la variación con un segundo sorteo

Answer 1

En primer lugar, el valor esperado para la primera elección es $(1+5+10+20)/4 = 9$

Luego depende de si se devuelve la factura para ser seleccionada.

Si se devuelve es bastante sencillo. La estrategia debe ser que si no eliges el billete de 10 o de 20 lo vuelves a intentar. Así que en el 25% de los casos te conformas con el de 20, en el 25% con el de 10 y en caso contrario lo vuelves a intentar con un valor esperado de 9. Así que el resultado sería $20/4 + 10/4 + 9/2 = 12$ .

Si no se devuelve, el resultado esperado del segundo sorteo depende del primer billete:

• 1 significa que el valor esperado del siguiente es $(5+10+20)/3 = 35/3$ es correcto dibujar el segundo aquí
• 5 medios $(1+10+20)/3 = 31/3$ que se dibuja el segundo aquí también
• 10 medios $(1+5+20)/3 = 26/3$ es decir, no dibujamos el segundo
• 20 medios $(1+5+10)/3 = 16/3$ es decir, no dibujamos el segundo.

Así que el resultado es que en el 25% de los casos nos conformamos con 20, en el 25% nos conformamos con 10, en el 25% sacamos un segundo billete con el valor esperado de 31/3, y en el 25% sacamos un segundo con el valor esperado de 35/3. Así que el resultado es

$${20 + 10 + 31/3 + 35/3\over 4} = {60+30+31+35\over12} = 13$$

Answer 2

Valor esperado para el primer sorteo = $(1+5+10+20)/4 = 9$

En la pregunta se especifica claramente "sacar de nuevo con sustitución" para el 2º sorteo, y también se ha aclarado que vemos lo que se sacó primero.

Dado que el valor esperado de la redistribución también es necesariamente $9$ , deberíamos estar satisfechos si obtuviéramos $10$ o $20$ la primera vez, si no, vuelve a dibujar.
Valor esperado con esta estrategia = $\dfrac14(10+20) + \dfrac12\cdot9 = 12$

Answer 3

También recibo 12 dólares.

1. Si sólo tienes 1 intento el valor esperado es de \$9. Supongo que está claro.

2. Ahora tiene que definir una estrategia para decidir si hace el segundo intento o se queda con el billete que obtuvo en el primer intento. La estrategia es sencilla: si el valor esperado del único intento es mayor que el billete que ya tienes, debes hacer el segundo intento. Así, si tiene \$1 or \$ 5 que haga el segundo intento.

3. Ahora analicemos los posibles resultados.

   • caso1: el primer intento le da \$20. Probability 1/4, game is over, outcome \$ 20.
   • caso2: el primer intento le da \$10. Probability 1/4, game is over, outcome \$ 10.
   • caso3: el primer intento le da \$1 or \$ 5. La probabilidad es 1/2. Decides hacer un segundo intento y este caso se divide en 4 subcasos (obtienes \$1, \$ 5, \$10 or \$ 20).

Si te metes en el caso 3 la probabilidad de los 4 subcasos es igual y es de 1/4. Por lo tanto, la probabilidad de que entres en algún subcaso concreto durante la partida es (probabilidad de que entres en el caso3) * 1/4 = 1/8.

Ahora estás listo para calcular el resultado esperado de todo el juego: tienes 6 posibles escenarios de juego (caso1, caso2, 4 subcasos del caso3), conoces la probabilidad de cada escenario y el resultado. Sin embargo, voy a utilizar un pequeño atajo:

1/4 \$20 + 1/4 \$10 + 1/2 * \$ 9 = \$12.

(\$9 aquí es un resultado esperado de un juego de un solo sorteo).

Por cierto, ¿qué pasa si tienes 3 intentos?

Mi respuesta sería:

1/4 * \$20 + 3/4 * \$ 12 = \$14