Demostrar que un modelo GARCH(1, 1) es un proceso ARMA(1, 1) para los errores al cuadrado

Question

Consideremos un modelo GARCH(1, 1): $$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$$

Donde $\sigma_t$ es la varianza condicional en el momento $t$ , $u_{t}^2$ es el término de error en el tiempo $t$ . En "In Introductory Econometrics for Finance" de Brooks (pg. 418/674), sección 8.8, se muestra que esto puede representarse como un modelo ARMA(1, 1) para los errores al cuadrado. Es decir, lo anterior se puede escribir como

$$u_t^2 = \alpha_0 + ( \alpha_1 + \beta) u_{t-1}^2 - \beta \epsilon_{t-1} + \epsilon_t$$

Para ello, el autor comienza con la afirmación

$$\epsilon_t = u_t^2 - \sigma_t^2$$

¿Qué significa esta afirmación y en qué sentido es válida?

Answer 1

La derivación es la siguiente: Se comienza con la ecuación de la varianza condicional $$\begin{equation} \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2 \end{equation}$$ Ahora añade $w_t=\epsilon_t^2-\sigma_t^2$ en ambos lados. Se obtiene: $$\begin{align} &\sigma_t^2+w_t=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2+w_t \\ \leftrightarrow &\sigma_t^2+\epsilon_t^2-\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2+w_t\\ \leftrightarrow &\epsilon_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2+ w_t \\ \end{align}$$ Observe que $w_{t-1}=\epsilon_{t-1}^2-\sigma_{t-1}^2$ y por lo tanto $\sigma_{t-1}^2=\epsilon_{t-1}^2-w_{t-1}$ . Se obtiene: $$\begin{align} \epsilon_t^2=\alpha_0+\alpha_1\epsilon_{t-1}^2+\beta_1(\epsilon_{t-1}^2-w_{t-1})+ w_t \\ \leftrightarrow \epsilon_t^2=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1)\epsilon_{t-1}^2 -\beta_1w_{t-1} +w_t \end{align}$$ Se trata de un ARMA(1,1) para los choques al cuadrado, si $w_t$ es un proceso de ruido blanco. Compruebe que $E(w_t)=0$ y $Cov(w_t,w_{t-h})=0 , h\leq 1$ . Si $E(\epsilon_t^4)<\infty$ que $V(w_t)<\infty$ y luego $w_t$ es un ruido blanco débil. Una cosa que resulta obvia al observar esta ecuación es que el $\epsilon_t$ no están correlacionados (puede comprobarlo usted mismo) pero no son independientes porque los choques al cuadrado siguen un proceso ARMA(1,1). Además, ahora es fácil derivar la FCA de $\epsilon_t^2$ . Se puede ver que la ACF es siempre positiva y converge a la velocidad $\alpha_1+\beta_1$ a cero.