Dada una función $$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$$ el objetivo es encontrar una primitiva holomorfa de la función $F(z)$ .
He abordado este problema ampliando laurent $f$ en $\Omega=\{|z|<1\} $ y luego integrarlo. Mi enfoque es el siguiente:
$$f(z)=\sum_{n\ge0}(-1)^n\ z^{2n}$$
$$F(z)=a_0+\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\ z^{2n+1}$$
¿Es este un enfoque válido, es decir, es $F$ holomorfo en $\Omega$ ? ¿Hay algo más elegante?
Es un enfoque válido para ver si quieres $F$ sea holomorfa sólo en $\Omega$ el disco de la unidad abierta.
Por su método, ha encontrado que la función $$F(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{2n+1}$$ es una primitiva válida para su función $f$ . Como toda serie de potencias es analítica en su disco de convergencia, $F$ es holomorfo en $\Omega$ . Esta serie de potencias es igual a $\arctan z$ dentro del disco de la unidad.
Sin embargo, no se puede encontrar una función holomorfa en un dominio que contenga una curva simple cerrada alrededor de $i$ o alrededor de $-i$ individualmente como $\mathbb{C}$ o $\mathbb{C}\setminus{\{-i,i\}}$ tal que su derivada es $f$ .
Para demostrarlo, dejemos que $\gamma$ sea una curva simple y cerrada alrededor de $i$ del número de bobinado $1$ entonces, por el teorema del residuo, se demuestra fácilmente que $$\int_{\gamma}f(z)\, \mathrm{d}z=\pi$$ Sin embargo, esta integral debe ser cero si $\gamma$ se incluyó en el dominio de una primitiva de $f$ .
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