¿Por qué el exponente negativo de Lyapunov implica que la órbita es un atractor?

Question

Estoy estudiando los exponentes de Lyapunov. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea un mapa suave, definimos el exponente de Lyapunov como $$L(x) := \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \log\left|f'(f^{i}(x))\right|. $$

Tengo una pregunta tonta que no puedo responder:

Pregunta Si $L(x)<0$ ¿es cierto que existe $\delta>0$ , de tal manera que $$|x-y|<\delta \ \Rightarrow\ \lim_{n\to\infty}|f^n(x) - f^n(y)|=0\ \ \ \ \ ? $$

donde $f^i (x) = (f\circ \cdots\circ f)(x)$ , $i$ tiempos.

¿O al menos alguien puede informarme de cuál es la noción de estabilidad que genera el exponente de Lyapunov?

Answer 1

No es cierto.

Para cualquier $\epsilon\in (0,1]$ construye una función suave $f_\epsilon: [0,1]\to \mathbb{R}$ tal que:

$f_\epsilon(0) = 0$ ;

$f'_\epsilon(0) = 1/2$ ;

$f_\epsilon^{(k)}(0) = 0$ para todos $k\geq 2$ (Yo uso $f_\epsilon^{(k)}$ para denotar el $k$ -derivada);

$x/2\leq f_\epsilon(x)\leq 1$ para todos $x\in[0,1]$ ;

$f_\epsilon(x)=1$ para todos $x\in [\epsilon,1]$ ;

si $\epsilon=1$ entonces también necesitamos la condición $f_\epsilon^{(k)}(1) = 0$ para todos $k\geq 1$ .

Ahora considere $f$ tal que para cualquier entero no negativo $k$ y cualquier $x\in [0,1]$ , $f(2k\pm x) = 2k+2 \pm f_{4^{-k}}(x)$ . (Para $x<-1$ , dejemos que $f(x)$ sea $1$ por ejemplo). Es suave debido a las condiciones de $f_\epsilon$ .

Entonces $L(0) = -\ln 2$ pero para cualquier $y\in (0,1)$ , $\lim_{n\to\infty}|f^n(y) - f^n(0)|=1$ . Es porque $f^n(0) = 2n$ pero si $2^{-k}\leq y\leq 1$ entonces $2k+4^{-k}\leq f^k(y)\leq 2k+1$ entonces $f^{k+1}(y)=2k+3$ y $f^n(y)=2n+1$ para todos $n>k$ .