La frontera de Hecke para las formas modulares de la cúspide

Question

1. El enunciado del problema, todas las variables y los datos dados/conocidos

Tengo una pregunta sobre los apuntes de clase adjuntos:

2. Ecuaciones relevantes

3. El intento de solución

Estoy de acuerdo en que 2) de la proposición 2.12 se mantiene una vez que tenemos 1). Me pareció entender la idea general de 1), sin embargo, mi razonamiento se mantendría para $M_k$ no depende de $f(t)$ siendo una cúspide y por lo tanto debe estar mal. Esto fue lo que pensé que estaba sucediendo:

$q=e^{2\pi i n (u+iv)} \approx e^{-v} $ para v grande, y el exponencial domina sobre $v ^ {x}$ ( v>0 como en el plano superior )

Esto, por supuesto, se mantendría si incluyera algún término constante, seguiría obteniendo la misma cantidad acotada. ¿puede alguien decirme en qué me he equivocado con el razonamiento anterior?

Answer 1

No creo que el razonamiento se aplique a una forma con un término constante.

Si $f$ es cúspide, podemos escribir $|f(q)|=e^{-2\pi m v}|g(q)|$ , donde $0<|g(0)|<\infty$ y $m>0$ . Entonces $v^{k/2}|f(q)|= v^{k/2} e^{-2\pi m v}|g(q)|$ . Es evidente que el producto $v^{k/2}e^{-2\pi m v}$ tiene límite cero en el infinito, y como $|g(0)|$ no es infinito, obtenemos que el límite de $v^{k/2}|f(q)|$ en el infinito es cero.

Si, por el contrario, $f$ no es una forma de cúspide, entonces $|f(0)|>0$ y así el límite de $v^{k/2}|f(q)|$ en $v=\infty$ no será dominado por nada que vaya a cero, y así se obtiene un límite infinito, por lo tanto $Im(z)^{k/2}f(z)$ sería ilimitado en el dominio fundamental.

Answer 2

Puede ser útil tener en mente una forma modular no cuspidal concreta para ejemplos como éste. La forma modular no cuspidal prototípica es la serie de Eisenstein de peso $2k$ $$ E(\tau) = \sum_{m,n \in \mathbb{Z}^2 - \{(0,0)\}} \frac{1}{(m+n\tau)^{2k}},$$ cuya expansión de Fourier es $$ E(\tau) = 2\zeta(2k)\left(1 + c_{2k} \sum_{n \geq 1} \sigma_{2k-1}(n) q^n\right).$$ Esta expansión parece un término constante $1$ y un montón de términos con decaimiento exponencial en la parte imaginaria, procedentes de $q^n$ . Tu razonamiento se aplica a la parte del decaimiento exponencial: todos los términos con exponenciales desaparecen cuando la parte imaginaria va a $\infty$ .

Pero el término constante no lo hace, y $\mathrm{Im}(\tau)^k \cdot 2 \zeta(2k)$ va claramente a $\infty$ ya que la parte imaginaria va a $\infty$ .