Si sabemos $f(0),f(1),f(2),\cdots f(n)$ ¿Existe una versión especializada de la fórmula de interpolación lagrangiana y un atajo para calcular los coeficientes?
(La estabilidad no es una preocupación).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para el $n+1$ puntos $\{\left(x_0,f(x_0)\right),...,\left(x_n,f(x_n)\right)\}$ el polinomio interpolador de Lagrange se define como $$P(x)=\sum_{j=0}^nP_j(x)=\sum_{j=0}^n f(x_j)\prod_{k=0\\{k\ne j}}^{n}\frac{x-x_k}{x_j-x_k}$$ Ahora bien, desde el $x_j=j,\; (j=0,1,...,n)$ el producto puede simplificarse.
Dejemos que $p_n(x):=x(x-1)\cdots(x-n)$ entonces $$\begin{align}\prod_{k=0\\{k\ne j}}^{n}\frac{x-x_k}{x_j-x_k}&=\prod_{k=0\\{k\ne j}}^{n}\frac{x-k}{j-k} \\&=\frac{p_n(x)}{x-j}\prod_{k=0\\{k\ne j}}^{n}\frac 1{j-k}\\ &=\frac{p_n(x)}{x-j}\cdot\frac 1{j!(-1)^{n-j}(n-j)!}\\ &=\frac{p_n(x)}{n!}{{n}\choose{j}}\frac{(-1)^{n-j}}{x-j} \end{align}$$ Por lo tanto, $$P(x)=\frac{p_n(x)}{n!}\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}{{n}\choose{j}}\frac{f(j)}{x-j}$$
