En la mecánica clásica con 3 dimensiones espaciales el momento angular orbital se define como
$$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}.$$
En la mecánica relativista tenemos los 4 vectores $x^{\mu}$ y $p^{\mu}$ pero el producto cruzado sólo está definido para 3 dimensiones. Entonces, ¿cómo definir el momento angular orbital, por ejemplo, en la relatividad especial en términos de 4 vectores? O más generalmente en $d$ ¿dimensiones?
Estimado asmaier, no debería ver $\vec L = \vec x \times \vec p$ como una "definición" primaria de la cantidad, sino como un resultado no trivial de un cálculo.
El momento angular es definido como la cantidad que se conserva debido a la simetría rotacional - y esta definición es completamente general, tanto si las leyes físicas son cuánticas, relativistas, ambas, o nada, y tanto si son mecánicas como de teoría de campos.
Para derivar una carga conservada, se puede seguir el procedimiento de Noether que se mantiene para cualquier par de una simetría y una ley de conservación:
En particular, el momento angular no tiene ningún problema para ser evaluado en relatividad - cuando el fondo es rotacionalmente simétrico. El hecho de escribir $\vec L$ como vector es sólo un recurso de contabilidad para recordar las tres componentes. De forma más natural, incluso fuera de la relatividad, deberías imaginar $$ L_{ij} = x_i p_j - x_j p_i $$ es decir $L_{ij}$ es un tensor antisimétrico con dos índices. Tal tensor, o 2forma, puede ser mapeado a un 3-vector a través de $L_{ij} = \epsilon_{ijk} L_k$ pero no tiene por qué serlo. Y en la relatividad, no debería. Así que en la relatividad, uno puede derivar el momento angular $L_{\mu\nu}$ que contiene los 3 componentes habituales $yz,zx,xy$ (conocido como $x,y,z$ componentes de $\vec L$ ) así como 3 componentes adicionales $tx,ty,tz$ asociados con los impulsos de Lorentz que saben algo sobre la conservación de la velocidad del centro de masa.
Por cierto, el general $x\times p$ El Ansatz no recibe ninguna corrección adicional "gamma" o de otro tipo a altas velocidades. Es porque se puede imaginar que es el generador de rotaciones, y las rotaciones son traslaciones (generadas por $\vec p$ ) que dependen linealmente de la posición $x$ . Por lo tanto, la fórmula permanece esencialmente sin cambios. En los fondos curvos típicos que aún conservan el momento angular, los otros componentes no espaciales del tensor de momento angular relativista no suelen conservarse porque el fondo no puede ser simétrico a Lorentz en el mismo momento.
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