Una definición equivalente de la profinite grupo

Question

Un profinite grupo es por defination de un grupo topológico $G$ que es Hausdorff compacto y totalmente desconectado. Cómo demostrar los siguientes equivalente defination:

Un compacto Hausdorff grupo es profinite si y sólo si su elemento neutro admite una base de barrios que consta sólo de nomal subgrupos.

Además, para probar la "$\Leftarrow$" dirección, yo sólo uso el hecho de que: su elemento neutro admite una base de barrios que consta sólo de $subgroups$. Por lo tanto, es también cierto que "Un compacto Hausdorff grupo con el elemento neutro admite una base de barrios que consta sólo de $subgroups$ es un profinite grupo.

Answer 1

La existencia de una base de vecindades compone de subgrupos es equivalente a la existencia de una base de vecindades compone de subgrupos normales, dado que usted está asumiendo la compacidad.

Si $H$ es un subgrupo abierto de un topológicos compactos del grupo, ya que el cosets de $H$ cubierta $G$ $G$ es compacto, se sigue que $H$ es de índice finito y, en particular, es clopen. La intersección de todos los conjugados de $H$ es, por tanto, también de índice finito y también clopen (sólo un número finito de distintas conjugados de $H$, desde su normalizador de índice finito), y de curso normal. Así que si reemplazar cada uno de los subgrupos en una base por la intersección de sus conjugados, se puede obtener una base hecha de subgrupos normales. Existe, por tanto, no más generalidad que los subgrupos normales.