Vamos a construir esto. Supongamos que conoces las coordenadas x e y en el plano euclidiano, pero para ti sólo son etiquetas arbitrarias para puntos, como códigos postales o números de teléfono. Supón que alguien te dice que los observadores pueden ver el plano desde diferentes direcciones, pero las leyes de la geometría siguen siendo las mismas. Ahora sabes que x e y no están realmente separadas. Bajo una rotación de 90 grados, x podría convertirse en y, e y podría convertirse en -x. Hay una cantidad que se conserva bajo estas rotaciones, que es la distancia $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ definido por el teorema de Pitágoras. Todos los observadores están de acuerdo en esto.
Consideremos ahora la relatividad según Galileo y Newton. Todos los observadores están de acuerdo en los intervalos de tiempo. Sin embargo, no están de acuerdo en otras cosas, como las distancias. Si toco la tecla "b" de mi teclado dos veces, así, bb, digo que la distancia entre esos dos eventos es cero. Pero un marciano que me mira a través de un telescopio dice que la tierra está girando y gira alrededor del sol, por lo que la distancia entre b y b era de cien metros. Sólo los observadores en reposo uno respecto del otro se ponen de acuerdo en las distancias pitagóricas, pero lo hacen independientemente de la rotación. Así como en el ejemplo del plano euclidiano vimos que la rotación podía mezclar x e y, en la relatividad galileana vemos que el movimiento de un observador a lo largo del eje x mezcla x y t según $x'=x-vt$ , $t'=t$ .
Aprender sobre el segundo postulado de Einstein es como aprender sobre la simetría rotacional del plano euclidiano. Te dice que había un grado de simetría mayor del que creías. Dice que hay algo en lo que todos los observadores están de acuerdo. Al igual que todos los observadores del plano euclidiano están de acuerdo en que los puntos A y B están a 1 metro de distancia, todos los observadores de un universo relativista están de acuerdo en que dos sucesos A y B pueden representar la emisión de un rayo de luz desde A y su recepción en B. En este caso decimos que la separación de A y B es luminosa. Sea la diferencia entre las coordenadas x de A y B $\Delta x$ y así sucesivamente, y por comodidad utilicemos unidades de segundos y segundos-luz, de modo que c=1, y no tengamos que escribir factores de c. Si un determinado observador dice que A y B son similares a la luz en relación con el otro, entonces ese observador tiene $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}=\Delta t$ .
Un observador en un estado de movimiento diferente medirá valores diferentes para estos deltas, y como en los ejemplos euclidianos y galileanos, las ecuaciones que relacionan estos deltas tienen que ser lineales. (Una relación no lineal como $x'=x^2$ violaría la homogeneidad del espacio). Los detalles de las ecuaciones reales y cómo se derivan no es realmente el tema aquí. Pero nos gustaría encontrar algo en lo que ambos observadores estuvieran de acuerdo, al igual que los observadores en el plano euclidiano están de acuerdo en las distancias, y los observadores en un universo galileano están de acuerdo en los tiempos.
Podríamos esperar que estuvieran de acuerdo en la diferencia $\Delta t-\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$ . Si estuvieran de acuerdo en esto, entonces ciertamente estarían de acuerdo en que los sucesos fueran ligeros. Pero esta conjetura no funciona. Una forma fácil de ver esto es con una variación del conocido experimento mental del tren y los dos relámpagos. Si los relámpagos son simultáneos en el marco de la tierra, entonces el observador K en un tren que va en una dirección ve $\Delta t<0$ mientras que el observador K' en un tren que va en sentido contrario ve $\Delta t>0$ . Dado que K y K' coinciden en $\Delta x$ ... pero no están de acuerdo con el signo de $\Delta t$ no están de acuerdo con el valor de la expresión conjeturada anteriormente.
Lo que sí funciona es la diferencia $\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$ . Podemos ver que no cae en el mismo contraejemplo de los trenes, porque el signo de $\Delta t$ es irrelevante.
Por analogía con la unificación euclidiana de los ejes x e y, pensamos en esto como una especie de unificación del eje t con los ejes x, y y z en la relatividad. La aparición del signo + en el término temporal y de los signos - en los espaciales se denomina firma. La distinción entre una firma como ++++ y otra como +--- es real, y dice que el tiempo no es exactamente igual a una dimensión espacial. La distinción entre +--- y -+++ no es físicamente significativa, y diferentes personas utilizan diferentes convenciones.
