¿Es todo subgrupo cerrado del grupo dual un aniquilador?

Question

Dejemos que $G$ ser un grupo LCA. Es bien sabido que a todo subgrupo cerrado $H$ de $G$ corresponden a un subgrupo cerrado en el grupo dual $\widehat{G}$ , es decir, el aniquilador de $H$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿existe una correspondencia unívoca entre los subgrupos cerrados de $G$ y los subgrupos cerrados del grupo dual $\widehat{G}$ ? ¿Es todo subgrupo cerrado de $\widehat{G}$ un aniquilador para algún subgrupo cerrado $H$ de $G$ ?

Answer 1

Cada subgrupo cerrado $i: H \to G$ (cada mono regular, en lenguaje de categorías) induce un mapa cociente de grupos topológicos $\hat{i}: \hat{G} \to \hat{H}$ (un epi regular), cuyo núcleo es el aniquilador. Existe una correspondencia unívoca entre tales monos regulares y epis regulares bajo la equivalencia dual de Pontryagin. Además, si $K$ es cualquier subgrupo cerrado del grupo LCA $\hat{G}$ entonces el cociente $\hat{G}/K$ también es LCA. Así que tenemos correspondencias uno a uno entre (1) subgrupos cerrados de $G$ (2) Grupos cocientes LCA de $\hat{G}$ y (3) subgrupos cerrados de $\hat{G}$ .