Si $A$ es convexo y $x \in \overline{A}$ es $A \cup \{x\}$ ¿también convexo?

Question

Dejemos que $(X, \|\cdot\|)$ sea un espacio normado y $A \subseteq X$ un subconjunto convexo.

Dejemos que $x \in \overline{A}$ sea un punto contenido en el cierre de $A$ . ¿Debe el conjunto $A \cup \{x\}$ ¿también ser convexo?

Estoy bastante seguro de que la respuesta tiene que ser afirmativa, pero no he podido demostrarlo. He considerado ejemplos como la bola abierta más un punto en su frontera, polígonos convexos abiertos en $\mathbb{R}^n$ con un vértice añadido y tal.

Soy consciente del hecho de que $\overline{A}$ es un conjunto convexo. Además, curiosamente, si tenemos dos puntos $x, y \in \overline{A}$ entonces $A \cup \{x, y\}$ no es convexo en general:

Considere $A = \langle 0, 1 \rangle \times \langle 0, 1\rangle$ como subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$ . Entonces $A \cup \{(0,1), (1,1)\}$ no es convexo ya que el segmento entre $(0,1)$ y $(1,1)$ no está contenida en $A \cup \{(0,1), (1,1)\}$ .

Answer 1

Usted ya sabe que $A\cup\{x,y\}$ puede no ser convexo. Ahora bien, si se sustituye $A$ avec $A\cup \{y\}$ tienes tu contraejemplo. Explicado, dejemos que $A=\langle 0,1\rangle \times \langle 0,1\rangle \cup\{(1,1)\}$ y $x=(0,1)$ .

Answer 2

En esencia, ya tienes la respuesta. Ya se ha dado cuenta de que $A\cup\{x,y\}$ no necesita ser convexo. Si $A\cup\{x\}$ no es convexo, esto da su contraejemplo. Si $A\cup\{x\}$ es convexo, entonces añadiendo $y$ rompe esto, dando su contraejemplo.