He encontrado este vídeo de Presh Talkwaker: https://www.youtube.com/watch?v=RY7YKSw1t_M .
Intenté resolver el problema calculando primero el número de días previsto para una sola semilla.
Según la definición de valor esperado, el número de días en que se espera que la semilla brote sería $\sum_{n=0}^{\infty}nP(\text{seed not grown on day n})$ . P(semilla no cultivada en el día n) = $\frac{1}{2^n}$ y después de un largo cálculo, descubrí que $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ converge a 2, lo que parece coincidir con la respuesta que obtuvo Presh.
Sin embargo, estoy teniendo problemas para calcular el número de días que se espera que tarden dos semillas en crecer. Sea S(n) el caso en el que la semilla S permanece sin crecer en el día n. Dejemos que las dos semillas se llamen A y B.
Razoné que el valor esperado para dos semillas sería $\sum_{n=0}^{\infty}nP(\text{A(n) or B(n)})$ . Según el principio de exclusión de la inclusión, P(A(n) o B(n)) = P(A(n)) + P(B(n)) - P(A(n) y B(n)). Además, P(A(n)) = P(B(n)) (la semilla A tiene la misma probabilidad de no crecer en el día n que la semilla B) y P(A(n) y B(n)) = P(A(n)) * P(B(n)) (son eventos independientes). Finalmente $P(A(n)) = \frac{1}{2^n}$ . Simplificando, obtenemos P(A(n) o B(n)) = $\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^n} - (\frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n}) = \frac{2}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{4}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{3}{2^{n+1}}$
Así, el valor esperado para dos semillas sería $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n}{2^{n+1}}$
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n}{2^{n+1}} = 3/2 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^{n}} = 3/2 \cdot 2 = 3$
Sin embargo, esta respuesta es incorrecta. Presh obtiene una respuesta de 8/3, y entiendo su método. Sin embargo, no estoy seguro de dónde me estoy equivocando en mi enfoque. Se agradecería una ayuda.
Gracias
