Propiedades del subespacio lineal del espacio de funciones

Question

La situación es la siguiente: Supongamos que $X$ es un espacio topológico compacto. Sea $A\subset C(X)$ sea un subespacio lineal del espacio de funciones continuas sobre $X$ . Supongamos que sabemos que para $x,y\in X$ , $x\neq y$ y $a,b\in\mathbb{R}$ existe $f\in A$ con $f(x)=a$ y $f(y)=b$ . Además, supongamos que: si $g\in A$ entonces $g^3,g^4,g^5,\ldots\in A$ .

Quiero demostrar que $g^2\in A$ para todos $g\in A$ . Tal vez se pueda utilizar que aproximamos la función $x^2$ por polinomios con potencias sólo de la forma $4m$ para $m\geq1$ . ¿Se tiene una idea para llegar a la conclusión?

Muchas gracias.

Answer 1

Esto no es cierto, por desgracia. Dejemos que $X=[a,b]$ con $a>0$ o $b<0$ y que $$A:=\{f\in C(X)\,|\,f(x)=a_1x+\sum_{j=3}^na_jx^j\ \text{for some}\ a_j\in\mathbb{R}\}.$$ Entonces $A$ es claramente un subespacio de $C(X)$ y obviamente $f\in A$ implica $f^3,f^4,f^5,\ldots\in A$ . Ahora dejemos que $f(x)=x$ ; $f\in A$ pero $f^2\notin A$ . Por lo tanto, para verificar que se trata de un contraejemplo sólo tenemos que demostrar que, dado $y,z\in[a,b]$ , $y\neq z$ y $a_0,b_0\in\mathbb{R}$ existe $f\in A$ con $f(y)=a_0$ y $f(z)=b_0$ . Podemos hacerlo utilizando un polinomio de Lagrange modificado; dejando que $$f(x)=\left(\frac{x-z}{a_0^2(y-z)}+\frac{x-y}{b_0^2(z-y)}\right)x^3$$ nos da una función de este tipo.