Medida de Wiener en trayectorias continuas

Question

Dejemos que $\Omega$ sea el espacio de caminos continuos desde $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^n$ . Por un famoso resultado, se sabe que $\Omega$ es un espacio de medidas si lo equipamos con la "medida de Wiener" ( ver este enlace ).

En un sentido descriptivo o intuitivo, ¿qué nos dice la medida de Wiener sobre una trayectoria determinada $\alpha$ ?

Parece que si $\alpha$ cubre una "gran distancia", entonces debería tener mayor medida que un camino que cubre "una distancia más corta" (aunque si $\alpha$ es lo suficientemente malo, entonces tal vez la idea de la distancia no tiene tanto sentido). En concreto, ¿la medida de Wiener generaliza la noción de longitud de arco?

Answer 1

En absoluto. De hecho, la medida de Wiener de un singleton es simplemente cero. La medida de Wiener de un conjunto es simplemente la probabilidad de que la trayectoria de un proceso de Wiener sea un miembro de ese conjunto. Así, por ejemplo, el conjunto de funciones que son diferenciables en algún punto de $\mathbb{R}_+$ tiene medida de Wiener cero. Del mismo modo, el conjunto de funciones monótonas tiene medida de Wiener cero.

Algunos ejemplos sencillos de conjuntos con medida de Wiener en $(0,1)$ son los conjuntos cilíndricos: son los conjuntos de la forma $\{ f : f(t_1) \in I_1,f(t_2) \in I_2,\dots,f(t_n) \in I_n \}$ donde $t_i \geq 0$ y $I_i$ son intervalos. De hecho, estos conjuntos generan el Borel $\sigma$ -sobre las funciones continuas, por lo que la medida de Wiener de cualquier conjunto de funciones continuas puede realizarse como un límite utilizando conjuntos cilíndricos.

Answer 2

Como Ian ha explicado anteriormente, la medida de Wiener de un camino es efectivamente $0$ . En general, siempre que tenga un número incontable de elementos en su espacio, su medida de probabilidad sólo puede ser distinta de cero en un número contable de puntos. La otra alternativa llevaría a que la medida de probabilidad de todo el espacio fuera infinita. Y en el espíritu de la medida browniana, no hay realmente ninguna razón para querer una medida de probabilidad que sea distinta de cero en un número contable de trayectorias (una pequeña proporción del conjunto de todas las trayectorias continuas) y 0 en todas las demás. Dicho esto, siempre me parece fascinante y un poco impar que el hecho de tener la medida $0$ para los singletons en un espacio de probabilidad no discreto se ajusta muy bien a nuestras limitaciones humanas:

1- Efectivamente, cuando intentas medir la ubicación de una partícula en un líquido, lo mejor que puedes hacer es hacerlo en pasos de tiempo discretos y la ubicación de la partícula no será exacta, tu máquina sólo podrá decirte una ubicación aproximada. Este tipo de medición corresponde exactamente a los cilindros mencionados por Ian, que son de la forma $C(T,U_I)=C(t_1,...,t_n,U_1,...,U_n)=\{\omega \in \Omega | \omega(t_i) \in U_i\}$ . Y la medida de Wiener en realidad nos dice exactamente las medidas de dicho conjunto: $$ p(C(T,U_I))= \int_{U_1}dx_1...\int_{U_n}dx_n p(x_1,t_1)p(x_2-x_1,t_2-t_1)... $$ donde $p(x-y,t)$ es la distribución gaussiana con varianza $t$ y la media $y$ Si se limita a una sola vez $t$ y un único subconjunto $U$ es decir, el conjunto $C(t,U)$ es el conjunto de todas las trayectorias continuas que están en $U$ en el momento $t$ . Puedes probar la medida anterior utilizando tu intuición. Supongamos que estamos en movimiento browniano 1D para simplificar y dejemos que $U$ sea un subconjunto fijo tal que $x \in U, |x|>\delta$ . Entonces $$ p(C(t,U))=\int_U \frac{e^{\frac{-x^2}{2t}}}{\sqrt{2 \pi t}}< vol(U) \frac{e^{\frac{-\delta^2}{2t}}}{\sqrt{2 \pi t}} $$ Como $t \rightarrow 0$ entonces esta probabilidad pasa a $0$ (el decaimiento exponencial es más rápido que $\frac{1}{t}$ explota). En efecto, si $U$ es un conjunto alejado del origen, entonces si no le das a tu partícula suficiente tiempo t, no llegará allí. Puedes probar otras cosas como lo que ocurre cuando $U$ es fijo y $t$ va al infinito, etc. etc. (primero intenta responder basándote en tu intuición y luego utiliza la medida anterior, es bastante instructiva). En cuanto a la medida de todo el espacio, $p(\Omega)=\frac{1}{2}(erf(\infty)-erf(-\infty))=1$ .

2- Esta situación es particular para todos los casos en los que tenemos observables continuos. Si intentas formular un lanzador de dardos como un sistema probabilístico, los observables que obtendrás serán localizaciones en un Disco (o algunas copias del mismo). De nuevo verás que la probabilidad de que un dardo caiga en un punto exacto del disco será cero y tendrás que volver a preguntar cosas como cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en esta localización.

3- Por otro lado, si tus observables son discretos y finitos, como el número que obtienes al lanzar un dado, la probabilidad que construyas acabará dando pesos distintos de cero a los singletons (incluso realmente en el caso contablemente infinito). Y esto se corresponde con el hecho de que en tales experimentos podemos realmente medir el resultado con exactitud, no hay incertidumbre.

Así que, desde un punto de vista filosófico, los humanos somos realmente criaturas discretas y finitas. Sin embargo, las formas idealizadas de lo que vemos en la naturaleza (como convertir un conjunto discreto de mediciones de ubicación aproximada en curvas continuas u otras observaciones discretas en espacios de observación no discretos) tienen más estructura y se dispone de más herramientas para estudiarlas, de ahí la idealización en matemáticas. Esta extraña correspondencia entre la finitud de nuestra naturaleza humana y el hecho de que lo que se llama "medida" en la teoría de la probabilidad refleje esta finitud es algo que me desconcierta.