Es el producto de copa de las holomorfas $n$ -¿formas con una clase fija inyectiva?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad compacta de Kahler de dimensión compleja $n$ . Fijar una clase no nula $u \in H^1(X,T_X)$ . Esto da un morfismo lineal $$ \phi_u : H^0(X,\Omega^n) \to H^{1}(X,\Omega^{n-1}), \quad \sigma \mapsto u \cup \sigma. $$ Es $\phi_u$ ¿Inyectiva?

Es así para los colectores con $\Omega^n_X = \mathcal O_X$ La prueba que tengo no es difícil, pero utiliza la métrica de Kahler plana de Ricci y el teorema de Lefschetz, por lo que no se puede generalizar a otras situaciones. En los ejemplos que conozco (curvas, hipersuperficies en $\mathbb P^n$ ) tenemos $h^{n,0} \leq h^{n-1,1}$ Así que aún no me he topado con un contraejemplo obvio.

Answer 1

La respuesta a esta pregunta es negativa en dimensiones $\ge 3$ . Por ejemplo, tomemos un quintento en $\mathbb CP^4$ y considerar su explosión $X$ en $10^{100}$ puntos (para estar seguros). Entonces el espacio $H^1(X, T_X)$ será enorme, ya que parametriza las deformaciones de la variedad de soplado y puedes mover los puntos a tu antojo. Por lo tanto, habrá $u\in H^1(X, T_X)$ para que el mapa sea trivial.

Obsérvese que cuando se infla el quintento $H^{2,1}$ no cambia.

Además, este truco con las explosiones no funcionará para las superficies de Kahler, como se explica, por ejemplo, en el apéndice 1 de http://arxiv.org/pdf/1301.0478.pdf

Answer 2

El mapa $\phi_u$ no es siempre inyectiva. Sea $X$ sea la expansión a lo largo de un gran número de puntos dentro de una superficie cuártica en $\mathbb{P}^3$ o cualquier superficie $S$ con un valor no nulo $h^{n,0}$ . El peso $2$ Estructura de Hodge de $X$ es una suma directa del peso $2$ Estructura de Hodge de $S$ la imagen del morfismo de retroceso, y un número finito de copias de la estructura de Hodge $\mathbb{Z}(-1)$ las imágenes de Gysin del peso $0$ Estructuras de Hodge de los divisores excepcionales. Por lo tanto, al variar los puntos volados en $S$ la variación correspondiente de las estructuras de Hodge es trivial. Así, el mapa de transversalidad de Griffiths $\phi_u$ es cero para cada $u$ que viene de una variación de los puntos.