Demuestra que $\max f(x)$ = $\min\Big(- \log f(x)\Big)$

Question

Supongamos que $f : \mathbb R ^D \rightarrow \mathbb R$ es una función con $f(x) > 0$ para todos $x \in\mathbb R^D$ . Además, supongamos que $f$ tiene un valor máximo bien definido, es decir existe un punto $x^\ast \in \mathbb R^D$ tal que $f(x) \leq f(x^*)$ para todos $x \in \mathbb R^D$ . Argumentar por qué

$$\max f(x) = \min \Big(-\log f (x)\Big)$$

donde el registro: $\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb R$ es el logaritmo natural.

He llegado tan lejos que tengo que diferenciar $f(x)$ y $-\log(x)$ y poner el igual a $0$ y luego mostrar que tienen los mismos puntos cero, y después diferenciar una vez más para ver si es un mínimo o un máximo, sin embargo una vez que intenté hacer eso con un $f(x)$ tengo diferentes $0$ valores, ¿es mi enfoque erróneo?

Creo que mi problema más concreto es, ¿cómo diferencio una función $f(x)$ ¿No lo sé?

Answer 1

$\log$ es una función creciente. Esto significa que $x<y \iff \log(x)<\log(y)$ (siempre que $\log(x)$ y $\log(y)$ están definidos). Por lo tanto $-\log$ es una función decreciente, lo que significa que $f(x) < f(x^*) \iff -\log(f(x)) > -\log(f(x^*).$

Answer 2

Desde $$ \frac{d}{dx} [-\log f(x)] = -\frac{f'(x)}{f(x)}, $$ es fácil ver que si $df/dx = 0$ en $x=x_0$ entonces $-d/dx\log f(x) = 0$ . Diferenciando de nuevo: $$ \frac{d^2}{dx^2} [-\log f(x)] = \frac{f'(x)^2-f(x) f''(x)}{f(x)^2} $$ Entonces, como $f'(x)=0$ en $x=x_0$ : $$ \left. \frac{d^2}{dx^2} [-\log f(x)] \right|_{x=x_0} = -\frac{f''(x_0)}{f(x_0)}. $$ Si $x=x_0$ es un máximo de $f(x)$ entonces $f'(x_0) = 0$ y $f''(x_0)<0$ . Entonces, $$ \left. \frac{d^2}{dx^2} [-\log f(x)] \right|_{x=x_0} $$ es mayor que $0$ y $x_0$ es un punto de mínimo de $\log f(x)$ .

Naturalmente, estos resultados se mantienen sólo si $f(x_0)\neq 0$ y si $f'(x_0)$ existe (como señalan dxiv y holo - gracias).