Utilizar una integral doble para encontrar un volumen girando una región R alrededor del eje y.

Question

La pregunta que se hace es la siguiente: "Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar el área delimitada por las curvas alrededor de la línea indicada.

$$y = |x^2 - 1|, x=-2, x=2, y=-1.$$ Gira alrededor de y=-2".

La ecuación que me dio mi profesor para encontrar volúmenes por rotación usando integrales dobles es $V = 2 \pi \iint_R y dA$ donde R es la región de integración. Para tratar el valor absoluto, divido la integral en tres, como sigue:

$$V = 2\pi\left(\int_{-2}^{-1}\int_{-1}^{x^2-1}ydydx + \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1-x^2}ydydx + \int_{1}^{2}\int_{-1}^{x^2-1}ydydx\right)$$

Sin embargo, sé que la expresión anterior es incorrecta ya que la segunda integral (la del medio) se evalúa a un valor negativo. La expresión anterior tampoco incorpora el hecho de que debe girar en torno a y=-2, y creo que esto también es parte de por qué es incorrecta.

¿Alguien se ha enfrentado a este tipo de problemas? Por mi parte, no consigo que muchos de estos tipos de problemas sean correctos. Cualquier ayuda sería muy, muy, apreciada.

Answer 1

Por qué no olvidarse de las fórmulas de la integral doble y centrarse simplemente en el hecho de que es un sólido de revolución sobre $y=-2$ ? En este caso, el elemento de volumen es un pancake, o disco, de volumen $dV = \pi (y+2)^2 dx$ , por lo que el volumen neto es

$$\pi \int_{-2}^2 dx \, [|x^2-1|+2]^2 = \pi \int_{-2}^{-1} dx \, (x^2+1)^2 + \pi \int_1^2 dx \, (x^2+1)^2 + \pi \int_{-1}^1 dx \, (3-x^2)^2$$

Supongo que puedes hacer el resto.

Answer 2

Primero, un comentario. Es de suponer que has hecho un dibujo. Observe la simetría sobre el $y$ -eje de la región que estamos rotando. Definitivamente es más agradable pasar de $x=0$ a $x=2$ y luego duplicar el resultado.

Todavía tenemos que dividir la integral, pero sólo en dos partes. Y obtenemos muchos menos signos menos.

En segundo lugar, la fórmula que utiliza no es la adecuada. Sería correcta si estuviéramos rotando una región completamente por encima del $x$ -eje sobre le site $x$ -eje. Toma un pequeño $dx\times dy$ rectángulo en su región, con la esquina inferior izquierda en $(x,y)$ . La distancia de este rectángulo a la línea $y=-2$ es aproximadamente $2+y$ . (Tenga en cuenta que esto también funciona para nuestro $y$ ya que $y=-2$ está por debajo de la región que estamos rotando) por lo que el volumen barrido por el pequeño rectángulo es aproximadamente $2\pi(2+y)\,dx\,dy$ . Eso es lo que hay que integrar.

Observación: O bien puedes utilizar la fórmula que te han dado. Entonces hay que hacer el $x$ -como eje de rotación.

Ascensor todo por $2$ . Estamos rotando la región entre $y=|x^2-1|+2$ y $y=1$ sobre el $x$ -eje. Para simplificar se utiliza la simetría. Sea $D^+$ ser la parte de la modificado región que está en el primer cuadrante. Entonces nuestro volumen es $2\iint_{D^+} y\,dx\,dy$ .