Encuentre $E[B 1_{\{ B\ge \frac{n}{2} \} }]$ donde $B$ es Binomio $(n,\frac{1}{2})$ .

Question

Cómo encontrar la siguiente expectativa $$E[B 1_{\{ B\ge \frac{n}{2} \} }]$$ donde $B$ es una variable aleatoria binomial con $(n,\frac{1}{2})$ .

Esto es lo que hice. El pmf en este caso viene dado por \begin{align} E[B 1_{\{ B\ge \frac{n}{2} \} }]= \sum_{k \ge \lceil n/2 \rceil }^n k {n \choose k} \left( \frac{1}{2}\right)^n \end{align}

Sin embargo, no estoy seguro de cómo calcular esta suma. Un límite superior también estaría bien.

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos $$ E[B 1_{\{ B\ge \frac{n}{2} \} }]=\frac n2 - E[B1_{\{B< \frac n2\}}]. $$ A continuación, evaluamos $E[B1_{\{B< \frac n2\}}]$ . Tenemos $$ E[B1_{\{B< \frac n2\}}]=\sum_{k<\frac n2} k\binom nk \frac 1{2^n}=\sum_{k<\frac n2} n \binom{n-1}{k-1} \frac1{2^n}. $$ La segunda igualdad se debe a $k\binom nk = n \binom{n-1}{k-1}$ .

Ahora, el índice $k$ de la suma es hasta $k\leq \frac n2 -1$ si $n$ es par, y $k\leq \frac{n-1}2$ si $n$ es impar. Entonces $k-1\leq \frac n2-2$ si $n$ es par, y $k-1\leq \frac{n-3}2$ si $n$ es impar.

Aplicamos la simetría de los coeficientes binomiales $\binom{n-1}k=\binom{n-1}{n-1-k}$ . Entonces la última suma es $$ \begin{cases} \frac n4 - \frac n{2^n}\binom{n-1}{\frac n2-1} &\mbox{if } n \mbox{ is even}\\ \frac n4- \frac12 \frac n{2^n}\binom{n-1}{(n-1)/2} &\mbox{if } n \mbox{ is odd}\\ \end{cases}. $$ Por lo tanto, $$ E[B 1_{\{ B\ge \frac{n}{2} \} }]=\begin{cases} \frac n4 + \frac n{2^n}\binom{n-1}{\frac n2-1} &\mbox{if } n \mbox{ is even}\\ \frac n4+ \frac12 \frac n{2^n}\binom{n-1}{(n-1)/2} &\mbox{if } n \mbox{ is odd}\\ \end{cases}. $$

Answer 2

Si $n$ es impar, es $1/2$ debido a la simetría.

Si $n$ es uniforme, es $$ \frac{1}{2}(1 - P(B = n/2)) + P(B = n/2) $$ de nuevo debido a la simetría.

Aquí, por simetría me refiero a $P(B = k) = P( B = n-k)$ para cualquier $k= 0, \dots, n$ .

[EDIT] Parece que he leído mal la pregunta; mis disculpas.