En $\triangle ABC$ , bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ se encuentran en lados opuestos en $D$ y $E$ . Si $\angle B<\angle C$ , mostrar $CE<BD$ .

Question

En $\triangle ABC$ , $\angle B<\angle C$ y $BD$ y $CE$ son bisectrices de ángulos. $D$ está en $AC$ y $E$ está en $AB$ . Demostrar que $CE<BD$ .

Utilizando el hecho de que $\angle B<\angle C$ , lo tengo. $AB>AC$ y $BF>CF$ (donde $F$ es la intersección de las dos bisectrices del ángulo).

Entonces expresé $CE=CF+FE$ y $BD=BF+DF$ . Desde $CF<BF$ sólo tenemos que demostrar que $FE<DF$ . He intentado utilizar el teorema de la bisectriz del ángulo para obtener algunas relaciones que me ayuden a demostrarlo, pero aquí es donde me he atascado. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Utilizar el teorema de los senos en los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle ACE$ para obtener: $$\dfrac{BD}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin\left( A+\frac B2\right)},\quad \dfrac{CE}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin\left(A+\frac C2\right)}.$$ Combinando estos dos resultados: $$\dfrac{BD}{CE} = \dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{\sin\left( A+\frac C2\right)}{\sin\left( A+\frac B2\right)}$$ y el resto debería ser fácil.