Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia positiva tal que $x_n \to x $ . Es necesario demostrar que $(x_1x_2...x_n)^{\frac{1}{n}}\to x$ . Todas las pruebas que conozco de esto requieren la desigualdad AM-GM. ¿Hay alguna forma de demostrarlo utilizando las propiedades básicas de las secuencias convergentes? (no se permiten registros)
Respuestas
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4-ier
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Utilice la opción "cortar la secuencia y analizar la parte principal y la cola por separado".
Pasos:
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Elige un $\epsilon > 0$ y luego hay un $N$ tal que $|x_n - x| < \epsilon$ para cualquier $n \geq N$ . Así que, $x-\epsilon \leq x_n \leq x + \epsilon$ . (Advertencia $x - \epsilon$ puede ser negativo... ¿cómo se afronta eso?)
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Para $m \geq N$ , cortar el producto $x_1 \cdots x_m$ en dos mitades. La segunda mitad ( $x_i$ , donde $i \geq N$ ) que se ocupa con el uso de $1$ . Ahora, utilizando el paso 1, intente encontrar un $N_1$ de manera que si $n \geq N_1$ a continuación, ambas partes en pasos $1$ y $2$ .
Este es un truco MUY estándar en el análisis, al que deberías acostumbrarte. Esta es la misma prueba, básicamente, que utilizarías para demostrar que $\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \to x$ .
Nota: A menudo es más fácil, desde el punto de vista conceptual (y práctico), tratar de normalizar lo que se está tratando. Sin embargo, en este caso se añaden más pasos innecesariamente, pero es más fácil de entender. Por ejemplo, si $x > 0$ entonces se puede sustituir la secuencia original $x_n$ con $y_n = x_n/x$ para que $y_n \to 1$ y ahora quiere demostrar que $\sqrt[n]{y_1\cdots y_n} \to 1$ porque al multiplicar ambos lados por $x$ da el resultado original. Para $x = 0$ (porque el límite de los números positivos podría ser cero), esto se reduce a una prueba no más fácil que la prueba original: eventualmente $x_n$ es pequeño.
Szeto
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16
Otro enfoque para evitar el AM-GM: $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\ln (x_1x_2\cdot x_n)^{1/n} &=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n}n \\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln x_1+\cdots+\ln x_{n+1})-(\ln x_1+\cdots+\ln x_n)}{(n+1)-n} \qquad{(1)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\ln x_{n+1}\\ &=\ln x \end{align} $$
Por lo tanto, podemos concluir $$\color{red}{\lim_{n\to\infty}(x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}=x}$$
$(1)$ : Se utiliza el teorema de Stoltz-Casearo.
