La ausencia de pruebas no es una prueba de ausencia: ¿Qué dice la probabilidad bayesiana al respecto?

Question

Un famoso aforismo del cosmólogo Martin Rees(*) dice "la ausencia de evidencia no es evidencia de ausencia" . Por otro lado, citando a Wikipedia:

En los experimentos científicos cuidadosamente diseñados, incluso los resultados nulos pueden ser una prueba de ausencia. Por ejemplo, una hipótesis puede ser falsada si no se encuentra empíricamente una observación vital predicha. (En este punto, la hipótesis subyacente puede rechazarse o revisarse y, a veces, incluso pueden justificarse explicaciones adicionales ad hoc). Que la comunidad científica acepte un resultado nulo como prueba de ausencia depende de muchos factores, como el poder de detección de los métodos aplicados, la confianza de la inferencia, así como el sesgo de confirmación dentro de la comunidad.

Por tanto, en aras del progreso científico, acabamos aceptando la ausencia de pruebas como prueba de ausencia. Esto también está en el corazón de dos analogías muy famosas, a saber La tetera de Russell y El Dragón de Carl Sagan en el garaje .

Mi pregunta es: ¿Cómo podemos justificar formalmente, basándonos en la teoría de la probabilidad bayesiana, que la ausencia de pruebas puede utilizarse legítimamente como prueba de ausencia? ¿Bajo qué condiciones es eso cierto? (se espera que la respuesta dependa de los detalles específicos del problema, como el modelo que asumimos, la ganancia de información proporcionada por nuestras observaciones dado el modelo, o las probabilidades previas de las hipótesis competidoras implicadas).

(*) el origen del aforismo parece ser mucho más antiguo, véase por ejemplo este .

Answer 1

Supongamos que la ausencia de evidencia no fuera evidencia de ausencia, es decir

P(absence | no evidence) = P(absence)

Entonces por el Teorema de Bayes tendríamos

P(absence) = P(no evidence | absence)P(absence)/P(no evidence)

Multiplica ambos lados por P(no evidence)/P(absence) para conseguirlo:

P(no evidence) = P(no evidence | absence)

lo que significa que la ausencia no disminuye la probabilidad de evidencia, lo que es absurdo.

Answer 2

Creo que es una cuestión muy filosófica y dudo que la teoría bayesiana sea aplicable a ella. ¿Qué entendemos por "probabilidad" de que haya un dragón en el garaje, una tetera entre la Tierra y Marte o vida extraterrestre? O existen o no, y no es una realización de una variable aleatoria.

Para llevar la idea al extremo, tomemos un ejemplo de las matemáticas. Definamos:

\begin{align} F &\equiv \text{"Goldbach's conjecture is false", and} \\ n &\equiv \text{"an even number that cannot be partitioned as two primes"} \end{align}

Tan pronto como encontremos un $n$ satisfaciendo la definición anterior, Goldbach cae. Fin de la discusión. O, en términos de "probabilidad":

$$ P(F | n) = 1 $$

Es sencillo demostrar que lo anterior implica:

\begin{align} P(F) &= P(n) + P(F|\bar n) P(\bar n), ~ ~ \text{or} \\ P(F|\bar n) &= \frac {P(F) - P(n)} {1 - P(n)} \end{align}

Ahora bien, si las pruebas son difíciles de encontrar, la "probabilidad" condicional e incondicional de que Goldbach se equivoque se vuelve idéntica:

$$ P(n) \rightarrow 0 \Leftrightarrow P(F|\bar n) \rightarrow P(F) $$

o, en otras palabras, la ausencia de pruebas no afecta a la probabilidad de lo que intentamos demostrar. Sin embargo, esto está condicionado a la rareza de las pruebas. Dado que tenemos examinó los números hasta $10^{18}$ y no han encontrado un $n$ para refutar a Goldbach, tales números, si existen, son probablemente raros. Por lo tanto, podemos seguir creyendo en Goldbach.

Sin embargo, como he señalado anteriormente, la conjetura de Goldbach no es una variable aleatoria. Es cierta o no, así que hablar de probabilidades no tiene sentido aquí. En el mejor de los casos, podemos hablar de nuestra creencia subjetiva en su corrección.

En general, es difícil definir cuando las pruebas son escasas. El único criterio que puedo imaginar es hacer un esfuerzo honesto y serio para encontrarla, y fracasar. Por ejemplo, hacer muchos experimentos precisos que sigan sin conducir a ninguna prueba.

Pero, como contraejemplo, tomemos el Experimento Michelson-Morley : En este caso, nosotros (en realidad los físicos) tomamos la ausencia de pruebas como una evidencia seria de la ausencia del éter, lo que finalmente condujo a la relatividad especial.

Así que, en conclusión, soy escéptico respecto a la relevancia práctica de su cita. Y, por cierto, según Cita Investigador Es mucho más antiguo que Martin Rees.