¿Los conjuntos abiertos de Zariski son densos?

Question

¿Es cierto que cualquier conjunto abierto no vacío es denso en la topología de Zariski sobre $\mathbb{A}^n$ ? Estoy bastante seguro de que es así, pero no se me ocurre ninguna prueba. ¿Podría alguien indicarme la dirección correcta? ¡Muchas gracias!

Nota: Soy no preguntando por la topología euclidiana en absoluto.

Answer 1

Como ejercicio, reduzcamos todo a enunciados sobre polinomios. Todo conjunto abierto contiene un conjunto abierto básico $U$ que es el complemento del conjunto cero de algún polinomio no nulo $f$ por lo que basta con demostrar que son densas de Zariski. El cierre de Zariski de un conjunto es la intersección de los conjuntos cero de todos los polinomios que desaparecen en él. Esto es igual a $\mathbb{A}^n$ si y sólo si cualquier polinomio que desaparece en $U$ desaparece. Por lo tanto, la afirmación es equivalente a la siguiente afirmación sobre los polinomios:

Supongamos un polinomio $g$ tiene la propiedad de que si $f(x) \neq 0$ entonces $g(x) = 0$ . Entonces $g(x) = 0$ para todos $x$ .

Pero la condición es equivalente a la afirmación de que $f(x) g(x) = 0$ para todos $x$ . ¿Puedes terminar el problema desde aquí? (Tenga en cuenta que debe suponer $k$ infinito).

Answer 2

Tenemos la siguiente proposición:

Propuesta : Dejemos que $X$ sea un espacio topológico no vacío. Los siguientes son equivalentes:

1. Si podemos escribir $X$ en la forma $X=F\cup G$ , donde $F$ y $G$ están cerrados, entonces $X=F$ o $X=G$ .
2. Si $U,V$ son dos conjuntos abiertos de $X$ y $U\cap V=\emptyset$ Entonces, o bien $U$ o $V$ está vacía.
3. Cualquier conjunto abierto no vacío de $X$ es denso.

Cuando se cumple una (por tanto, cualquiera) de estas condiciones, decimos $X$ es irreducible.

Ahora, todo lo que queda por demostrar es que $\mathbb{A}^n$ es irreducible, lo que se deduce del hecho de que su álgebra afín es un dominio integral.

Answer 3

Sí, sé que los gravitones son "sólo una teoría", pero me pregunto cómo actúan teóricamente.

Haciéndome eco de la respuesta de Anna, pero expresándolo de forma más contundente: no lo hacen . Y ver cómo John Rennie mencionó Artículo de Matt Strassler ? Mira esta línea de la misma: "Una partícula virtual no es una partícula en absoluto" . Los electrones y los protones no se lanzan fotones. Los átomos de hidrógeno no centellean. Los fotones virtuales no son fotones reales de corta duración que aparecen y desaparecen como por arte de magia, y no son lo mismo que las fluctuaciones del vacío. En cambio, son "cuantos de campo". Es como si dividieras un campo electromagnético en pequeños trozos, y dijeras que cada uno es un fotón virtual. Entonces, cuando el electrón y el protón se atraen entre sí campo de intercambio de tal manera que el átomo de hidrógeno resultante no tiene mucho campo electromagnético. Por lo tanto, se puede ver la corrección subyacente de la idea de intercambio. Sin embargo, cuando dos átomos de hidrógeno se atraen gravitatoriamente, se no campo de intercambio. En lugar de que los dos campos (casi) se anulen, son aditivos. Así que todo el concepto de gravitones virtuales que se intercambian no tiene sentido.

¿Llueven sobre todo lo que tiene masa para "empujar" otras cosas hacia ella? ¿O los gravitones forman una especie de "campo" que da gravedad a todo (como el campo de Higgs)?

Definitivamente no es lo primero. En cuanto a lo segundo, se podría dividir un campo gravitatorio en pequeños trozos y llamar a cada uno un gravitón virtual. Pero no hay trozos reales. Un campo gravitatorio no está hecho realmente de gravitones, al igual que un campo electromagnético no está hecho realmente de fotones.