¿Por qué la continuidad de la función compuesta $f\circ g$ en $c$ requieren la continuidad de la función $g$ en $c$ ?

Question

A continuación expondré una pregunta de mi libro de texto:

Dado $f(x) = \frac 1 {x-1}$ . Encuentra los puntos de discontinuidad de la función compuesta $y = f[f(x)]$ .

Claramente, $f(x)$ no se define en $x=1$ . Pero ese no es el caso de $y = \frac {x-1}{2-x}$ . Cálculo del límite y del valor de $y$ en $x=1$ incluso encontramos que es continua en este punto. La gráfica de $y$ da la misma idea.

Pero mi libro de texto dice que es discontinuo en $x=1$ . Sé que esto se debe a la continuidad de la función compuesta $f\circ g$ en $c$ requiere la continuidad de $g$ en $c$ . Eso es exactamente lo que no puedo entender. ¿Por qué? No entiendo lo que hace $f\circ g$ tienen que ver con la continuidad de $g$ en cualquier punto, digamos $c$ ? Sólo necesita $g$ que se definirá en $c$ ¿cierto? ¿Tienes un ejemplo que ilustre la importancia de la continuidad de una función $g$ en $c$ para la continuidad de la función compuesta $f\circ g$ en $c$ ?

Answer 1

La respuesta es que la función $$ f(f(x)) = \frac{1}{\frac{1}{x - 1} - 1} $$ no es lo mismo que $$ \frac{x - 1}{2 - x}. $$ Dan los mismos resultados para todos $x$ en el ámbito de $f(f(x))$ pero la segunda función tiene $1$ en su dominio. La razón es que el límite de $f(f(x))$ existe en $1$ pero no tiene valor. La segunda función sólo rellena el valor con el límite. Cuando se manipula $f(f(x))$ para reducirla a la segunda función, probablemente se multiplicó por $x - 1$ o algo así. Estabas haciendo la suposición implícita de que $x - 1 \neq 0$ . Pero, podría ser. Entonces, cambiaste la función en ese punto de tu trabajo.

Entonces $f(f(x))$ no es continua en $x = 1$ porque hay una división por $0$ error al intentar calcularlo. Pero, para que sea continua necesita tanto el límite como que no haya error de cálculo.

Answer 2

Técnicamente, si $f(x) = \frac{1}{x-1}$ entonces $$f\circ f(x) = \frac{1}{\left(\frac{1}{x-1}\right)-1} = \frac{1}{\left(\frac{2-x}{x-1}\right)}$$ Esto no es lo mismo que $$g(x) = \frac{x-1}{2-x}$$ Son los mismos casi en todas partes donde el único punto en el que difieren es $x=1$ ( $f\circ f$ no se define allí mientras que $g$ es). En general, una fracción $1/(a/b) = b/a$ si puede asumir $b\not=0$ . En caso contrario, dicha operación no está definida.