Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria continua con distribución uniforme en $[0, 2\pi]$ . ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria $Y=\sin X$ ? Creo que también es uniforme. ¿Estoy en lo cierto?
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Did
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Por la fórmula jacobiana, $$f_Y(y)=\frac{\mathbf 1_{|y|\lt1}}{\pi\sqrt{1-y^2}}.$$ Este es el llamado Distribución del arcoseno que es famoso por aparecer en teoría de la probabilidad y en teoría de los números como se muestra en dos matemáticas gigantes del siglo XX:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ 
Michael Hardy
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El apoyo de la distribución es, por supuesto $[-1,1]$ . Para $y\in[0,1]$ tenemos \begin{align} \Pr(Y\le y) & = \Pr(0\le X\le\arcsin y\text{ or }2\pi\ge X\ge \pi-\arcsin y) \\[10pt] & = \frac{\arcsin y + (2\pi-(\pi-\arcsin y))}{2\pi}. \end{align} La densidad es la derivada de eso, y eso no es una función constante, así que no está distribuida uniformemente.
