Evaluación de $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{r=1}\frac{r}{n^2+n+r}$

Question

Evaluación de $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{r=1}\frac{r}{n^2+n+r}$$

$\bf{My\; Try::}$ Dejemos que $$L = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{r=1}\frac{r}{n^2+n+r} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{r=1}\frac{\frac{r}{n}}{\frac{r^2}{n^2}+\frac{1}{n}+\frac{r}{n^2}}\cdot \frac{1}{n}$$

Quiero convertir en Integral de Reinmann, pero no es posible aquí.

Entonces, ¿cómo puedo resolverlo?

Ayúdame

Gracias

Answer 1

$$\frac{r}{(n+1)^2}\leq\frac{r}{n^2+n+r}\leq\frac{r}{n^2}$$ por lo que su límite es igual a $\int_{0}^{1}x\,dx = \color{red}{\frac{1}{2}}$ .

También se pueden evitar las sumas de Riemann simplemente observando que $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n^2+n}{2}$ .

Answer 2

Además de la respuesta de Jack, un enfoque diferente que da más del límite deseado.

Se puede reescribir su suma con la norma números armónicos $$ \begin{align} \sum^{n}_{r=1}\frac{r}{n^2+n+r}&=\sum^{n}_{r=1}\frac{n^2+n+r-(n^2+n)}{n^2+n+r}\\\\&=n-(n^2+n)\sum^{n}_{r=1}\frac1{n^2+n+r}\\\\ &=n-(n^2+n)\left(H_{n^2+2n}- H_{n^2+n+1}\right) \end{align} $$ entonces utiliza la asintótica de números armónicos , como $ N \to \infty$ , $$ H_N=\log N+\gamma+\frac1{2N}-\frac1{12N^2}+\mathcal{O}\left(\frac1{N^4} \right) $$ que lleva fácilmente a

$$ \sum^{n}_{r=1}\frac{r}{n^2+n+r}=\frac12-\frac1{3n}+\mathcal{O}\left(\frac1{n^2} \right) $$

como $n \to \infty$ .