Análisis: Demostrar la divergencia de la secuencia $(n!)^{\frac2n}$

Question

Estoy tratando de demostrar que la secuencia $$a_n = (n!)^{\frac2n}$$ tiende a infinito como $ n \to \infty $ .

He probado diferentes métodos pero no he conseguido nada. ¿Alguna solución o consejo?

Answer 1

Escoge $K$ tan grande como quieras, entonces $n!\ge K^{n-K}$ (para $n\ge K$ ), por lo que $$(n!)^{1/n}\ge K^{(n-K)/n}=K^{1-K/n}\to K\text{ as }n\to\infty.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x(n+1-x)\ge (1)(n)$ para $1\le x\le n$ . De ello se desprende que $$(n!)^2=(1)(n)(2)(n-1)(3)(n-2)\cdots (n)(1)\ge n^n$$ y por lo tanto $(n!)^{2/n}\ge n$ .

Answer 3

Una pista: $$n!>\left(\frac{n}{2}\right )^n$$ para que sea lo suficientemente grande $n$ .

Answer 4

Dejemos que $c_n=(n!)^2$ Entonces $\displaystyle\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2}=(n+1)^2\to\infty,$ $\;\;\;$ así que $(n!)^{\frac{2}{n}}=(c_n)^{\frac{1}{n}}\to\infty$

Answer 5

Dejemos que $$a_n = (n!)^{\frac2n}$$ $$\log(a_n)={\frac2n} \log(n!)$$ y, como sugiere GPerez, utilizar la aproximación de Stirling, es decir $$n!\approx n^n \sqrt{2\pi n}e^{-n}$$ o, mejor aún, la serie Stirling $$\log(n!) \sim n\log(n)-n+\frac 12 \log(2\pi n)+\frac{1}{12n}+\cdots$$ Así que $$\log(a_n)\sim 2\frac{ n\log(n)-n+\frac 12 \log(2\pi n)+\cdots}{n}> 2(\log(n)-1) =\log\Big(\frac{n^2} {e^2}\Big)$$ y luego $$a_n >\frac{n^2} {e^2}$$