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Forma más rápida de comparar fracciones

¿Cuál es el método más rápido para comparar las fracciones a continuación con el menor cálculo posible y encontrar cuál es la mayor y cuál es la menor?? $$\frac{26}{686},\quad \frac{48}{874},\quad \frac{80}{892},\quad \frac{27}{865}$$

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Redondea a los múltiplos cercanos de potencias de diez, que son más fáciles de comparar.

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A mano asumo

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@Tpofofn sí, pero como dije con el mínimo cálculo posible.

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DiGi Puntos 1925

Los denominadores de las últimas tres fracciones están dentro de $27$ uno del otro; $3\cdot27=81$, así que $27$ de $865$ es menos de $1$ parte en $30$. Los numeradores de esas fracciones difieren mucho más de 1 parte en $30$, así que podemos clasificar esas tres fracciones en el orden $$\frac{27}{865}<\frac{48}{874}<\frac{80}{892}\;.$$ La única pregunta real es dónde encaja la primera fracción, pero eso es fácil: $26$ y $27$ están muy cerca, mientras que $686$ es mucho menor que $865$, entonces $$\frac{26}{686}>\frac{27}{865}\;.$$ Por otro lado, es bastante obvio que $$\frac{26}{686}<\frac{80}{892}\;,$$ así que el más pequeño y el más grande deben ser $\dfrac{27}{865}$ y $\dfrac{80}{892}$, respectivamente.

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@ Jay: $892-865=27$, y $27/865<27/810=1/30$. Así, tanto $874$ como $892$ son menores que $\frac{31}{30}\cdot 865$. Pero los numeradores $48$ y $80$ son mucho más grandes que $\frac{31}{30}\cdot 27$, por lo que las fracciones $48/874$ y $80/892$ deben ser mayores que $27/865$. Un razonamiento similar muestra que $48/874<80/892$. La clave es que si $\frac{a}b=\frac{c}{bk}$, entonces $c=ak$. Por lo tanto, si $k<\frac{31}{30}$, y $c$ es obviamente más grande que $\frac{31}{30}\cdot a$, entonces $\frac{a}b$ debe ser menor que $\frac{c}{bk}$.

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David HAust Puntos 2696

Como mencioné en detalle aquí, un algoritmo rápido general para comparar fracciones (o números reales) es emplear fracciones continuas, es decir, hacer la comparación en paralelo con la expansión en fracciones continuas, calculando las partes enteras, y luego recursar en los recíprocos de las partes fraccionarias (ver el enlace para un algoritmo). Aquí, todas las fracciones tienen parte entera $= 0$, por lo que al comparar los recíprocos:

$$\bigg\lfloor \frac{865}{27}\bigg\rfloor = 32\ >\ \bigg\lfloor \frac{686}{26}\bigg\rfloor = 26\ >\ \bigg\lfloor \frac{874}{48}\bigg\rfloor = 18\ >\ \bigg\lfloor \dfrac{892}{80}\bigg\rfloor = 11$$

Dado que reciprocando se invierten las desigualdades, al revertir lo anterior se obtienen las igualdades buscadas.

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Matthew Scouten Puntos 2518

$\dfrac{1}{30} < \dfrac{26}{686} < \dfrac{1}{20}$ porque $30 \times 26 = 780 > 686$ mientras $20 \times 26 = 520 < 686$.

$\dfrac{1}{20} < \dfrac{48}{874} < \dfrac{1}{12}$ porque $20 \times 48 = 960 > 874$ mientras $12 \times 48 = 144 \times 4 = 576 < 874$

$\dfrac{1}{12} < \dfrac{80}{892}$ porque $12 \times 80 = 960 > 892$.

$\dfrac{27}{865} < \dfrac{1}{30}$ porque $30 \times 27 = 810 < 865$.

Así que $\dfrac{27}{865} < \dfrac{26}{686} < \dfrac{48}{874}< \dfrac{80}{892}$.

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user31264 Puntos 751

Puedes ordenar las fracciones usando el siguiente método. Para cualquier par de fracciones $A= \frac{a}{b}, B= \frac{c}{d}$ toma $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} =C$. Entonces si $C>1$ tienes que $A>B$ si $C<1$ entonces $B

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Kylon99 Puntos 11

¡Es suficiente comparar 1/100 multiplicar cada fracción! Así que tenemos 26/6.86, 48/8.74, 80/8.92, 27/8.65. Así que tenemos aproximadamente 4, 6, 10, 3 respectivamente para estas fracciones, y obviamente 27/865 es la fracción más pequeña y 80/892 es la más grande.

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