Forma más rápida de comparar fracciones

Question

¿Cuál es el método más rápido para comparar las fracciones a continuación con el menor cálculo posible y encontrar cuál es la mayor y cuál es la menor?? $$\frac{26}{686},\quad \frac{48}{874},\quad \frac{80}{892},\quad \frac{27}{865}$$

Answer 1

Los denominadores de las últimas tres fracciones están dentro de $27$ uno del otro; $3\cdot27=81$, así que $27$ de $865$ es menos de $1$ parte en $30$. Los numeradores de esas fracciones difieren mucho más de 1 parte en $30$, así que podemos clasificar esas tres fracciones en el orden $$\frac{27}{865}<\frac{48}{874}<\frac{80}{892}\;.$$ La única pregunta real es dónde encaja la primera fracción, pero eso es fácil: $26$ y $27$ están muy cerca, mientras que $686$ es mucho menor que $865$, entonces $$\frac{26}{686}>\frac{27}{865}\;.$$ Por otro lado, es bastante obvio que $$\frac{26}{686}<\frac{80}{892}\;,$$ así que el más pequeño y el más grande deben ser $\dfrac{27}{865}$ y $\dfrac{80}{892}$, respectivamente.

Answer 2

Como mencioné en detalle aquí, un algoritmo rápido general para comparar fracciones (o números reales) es emplear fracciones continuas, es decir, hacer la comparación en paralelo con la expansión en fracciones continuas, calculando las partes enteras, y luego recursar en los recíprocos de las partes fraccionarias (ver el enlace para un algoritmo). Aquí, todas las fracciones tienen parte entera $= 0$, por lo que al comparar los recíprocos:

$$\bigg\lfloor \frac{865}{27}\bigg\rfloor = 32\ >\ \bigg\lfloor \frac{686}{26}\bigg\rfloor = 26\ >\ \bigg\lfloor \frac{874}{48}\bigg\rfloor = 18\ >\ \bigg\lfloor \dfrac{892}{80}\bigg\rfloor = 11$$

Dado que reciprocando se invierten las desigualdades, al revertir lo anterior se obtienen las igualdades buscadas.

Answer 3

$\dfrac{1}{30} < \dfrac{26}{686} < \dfrac{1}{20}$ porque $30 \times 26 = 780 > 686$ mientras $20 \times 26 = 520 < 686$.

$\dfrac{1}{20} < \dfrac{48}{874} < \dfrac{1}{12}$ porque $20 \times 48 = 960 > 874$ mientras $12 \times 48 = 144 \times 4 = 576 < 874$

$\dfrac{1}{12} < \dfrac{80}{892}$ porque $12 \times 80 = 960 > 892$.

$\dfrac{27}{865} < \dfrac{1}{30}$ porque $30 \times 27 = 810 < 865$.

Así que $\dfrac{27}{865} < \dfrac{26}{686} < \dfrac{48}{874}< \dfrac{80}{892}$.

Answer 4

Puedes ordenar las fracciones usando el siguiente método. Para cualquier par de fracciones $A= \frac{a}{b}, B= \frac{c}{d}$ toma $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} =C$. Entonces si $C>1$ tienes que $A>B$ si $C<1$ entonces $B

Answer 5

¡Es suficiente comparar 1/100 multiplicar cada fracción! Así que tenemos 26/6.86, 48/8.74, 80/8.92, 27/8.65. Así que tenemos aproximadamente 4, 6, 10, 3 respectivamente para estas fracciones, y obviamente 27/865 es la fracción más pequeña y 80/892 es la más grande.