El uso de la regla de la cadena en la física

Question

A menudo veo en la física que, decimos que podemos multiplicar infinitesimales para utilizar la regla de la cadena. Por ejemplo,

$$ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot v(t)$$

Pero, lo que me molesta de esto es que me plantea algunas cuestiones serias de existencia; cuando decimos que tomamos la derivada de $v$ velocidad con respecto a la distancia, es decir, podemos escribir la velocidad en función de la distancia. Pero, ¿cómo sabemos que esto es siempre posible? Es decir, cuando hacemos estas multiplicaciones de diferenciales estamos asumiendo implícitamente que $v$ puede pasar de ser una función del tiempo a una función del desplazamiento.

Veo que esto se utiliza de forma omnipresente, y hay algunas variaciones más locas que he visto de intercambiar literalmente los diferenciales como $ dv \frac{dm}{dt} = dm \frac{dv}{dt}$ como muestra la respuesta del usuario "Fakemod" en este puesto de la pila .

Answer 1

En situaciones como ésta, puede ser bueno dar un paso atrás y considerar lo que realmente estamos viendo . En este caso estamos viendo alguna función $x$ en función del tiempo. Así que partiendo de esto las únicas funciones que están bien definidas son \begin{align} x:\quad t\rightarrow &x(t)\\ v:\quad t\rightarrow &v(t)=x'(t) \end{align} Podemos reescribir nuestro culpable $\frac{dv}{dx}$ en términos de estas funciones. \begin{align} \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dt}\frac{dt}{dx}=v'(t)\left[x'(t)\right]^{-1} \end{align} Aquí utilizamos la regla de la cadena y el hecho de que la derivada de una inversa es el recíproco de la función original, es decir $dy/dx=(dx/dy)^{-1}$ . Inmediatamente podemos ver dos cosas iluminadoras: en primer lugar podemos definir la derivada $\frac{dv}{dx}$ porque podemos escribir $v$ en función de $t$ y también podemos escribir $t$ en función de $x$ . En segundo lugar, esta derivada sólo está definida si $x'(t)\neq 0$ por lo que hay algunas limitaciones para hacerlo.

Tomemos como ejemplo $x(t)=bt^2$ . Podemos calcularlo de dos maneras. La primera forma es sustituir primero $t(x)$ y luego diferenciar con respecto a $x$ : \begin{align} t&=\pm\sqrt{\frac x b}\\ \implies v(x)&=v(t(x))=\pm 2\sqrt{bx}\\ \implies \frac{dv}{dx}&=\pm\sqrt{\frac b x} \end{align} La segunda forma es utilizar la regla de la cadena. A partir de la segunda ecuación \begin{align} \frac{dv}{dx}&=v'(t)\left[x'(t)\right]^{-1}\\ &=2b[2bt]^{-1}\\ &=\frac 1 t\\ &=\pm\sqrt{\frac b x} \end{align} Tal vez no sea sorprendente que estos métodos sean iguales. El segundo método hace realmente explícito qué funciones se utilizan, pero el primer método puede quedar oculto a veces cuando $t$ no se menciona como en su pregunta.

Lo más importante de esta respuesta es que estos trucos tienen una prueba formal detrás de ellos, pero a menudo el autor lo omite por brevedad. De esta manera podemos hacer más física más rápidamente, pero estos trucos no deberían ir en detrimento de tu comprensión fundamental. Cuando sientas que esto sucede, puede ser útil escribir las funciones que estás usando y de qué parámetros dependen y entonces puedes intentar demostrar estos trucos. Un buen resumen de estos trucos es que "las diferenciales no son entidades algebraicas, así que no puedes cambiarlas por fracciones, pero resulta que en la mayoría de los casos puede cambiarlos así".

Answer 2

Lo que realmente estamos diciendo es que hay alguna función $f$ que cuando se compone con la posición da la velocidad. Tenemos:

$$ v(t) = f \circ x(t)$$

Tomar la derivada:

$$ \frac{dv}{dt} = \left[ \frac{df}{dx} \circ x(t) \right] \frac{dx}{dt}= v \left[ \frac{df}{dt} \circ x(t)\right]$$